中空断面棒のねじり

Figure 8.3: 複連結領域

図に示す中空断面棒のように ,断面が2つ以上の閉曲線 \(L_0\)\(L_1\)\(L_2\)\(\cdots\)で囲まれている複連結領域の場合は , 式(8.21)において閉曲線の数だけの定数 , \(c_0,c_1,c_2,\cdots\)が必要である. ここで ,その内の一つは\(\Psi\)に含めることができるから , 例えば ,外側の境界上の定数を零(\(c_0=0)\)とすることができる. 例として ,一つの穴を持つ中空断面棒について考えよう. この場合の境界条件は

\begin{displaymath}
\left.
\begin{array}{ll}
\Psi = 0 & \mbox{;\(L_0\)} \\
\Psi = c_1 & \mbox{;\(L_1\)}
\end{array}\right\}
\end{displaymath} (533)

定数\(c_1\)は変位\(u_z\)が閉曲線 \(L_1\)に沿って一価連続 ,すなわち , 穴の周辺を一周しても変位に食い違いが生じない条件:
\begin{displaymath}
\oint_{L_1}du_z = 0
\end{displaymath} (534)

より決定される.式(8.9) ,式(8.18)および式(8.23)を 用いれば ,上式の左辺は ,
$\displaystyle \oint_{L_1} du_z$ $\textstyle =$ $\displaystyle \omega\oint_{L_1}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}dx
+ \frac{\partial f}{\partial y}dy \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\omega\oint_{L_1}\left(-\displaystyle\frac{\partial \Psi}{\partial y}dx
+ \frac{\partial \Psi}{\partial x}dy - ydx + xdy\right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\omega\oint_{L_1}\left( \displaystyle
\frac{\partial \Psi}{\part...
...dy}{ds}
- \frac{\partial \Psi}{\partial y}\frac{dx}{ds}
\right)ds - 2\omega A_1$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\omega\oint_{L_1}\left(\displaystyle
\frac{\partial \Psi}{\parti...
...dx}{dn}
+ \frac{\partial \Psi}{\partial y}\frac{dy}{dn}
\right)ds - 2\omega A_1$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle -\omega\oint_{L_1} \displaystyle
\frac{\partial \Psi}{\partial n} ds - 2\omega A_1$ (535)

ただし ,\(A_1\)は穴の面積である. したがって ,式(8.42)より
\begin{displaymath}
\oint_{L_1} \frac{\partial \Psi}{\partial n}ds = -2A_1
\end{displaymath} (536)

となり ,\(c_1\)は上式より求められる.また ,ねじりモーメン\(T\)は , 式(8.14より ,
\begin{displaymath}
T = 2G\omega\left[\int\hspace*{-1mm}\int \Psi dxdy + c_1A_1\right]
\end{displaymath} (537)

以上より ,中空断面棒の場合には ,式(8.27)を満足する\(\Psi\)を 式(8.41)と式(8.44)との条件のもとに決定すればよい. ここで ,\(\omega\)は式(8.45)よりまた ,応力成分は , 式(8.25)より求められる.

Akihiro Nakatani 2001-06-25