中空断面棒のねじり

**Figure 8.3:** 複連結領域

図に示す中空断面棒のように，断面が2つ以上の閉曲線 $L_0$ ， $L_1$ ， $L_2$ ， $\cdots$ で囲まれている複連結領域の場合は，式(8.21)において閉曲線の数だけの定数， $c_0,c_1,c_2,\cdots$ が必要である．ここで，その内の一つは $\Psi$ に含めることができるから，例えば，外側の境界上の定数を零( $c_0=0)$ とすることができる．例として，一つの穴を持つ中空断面棒について考えよう．この場合の境界条件は

$\begin{displaymath} \left. \begin{array}{ll} \Psi = 0 & \mbox{;$L_0$} \\ \Psi = c_1 & \mbox{;$L_1$} \end{array}\right\} \end{displaymath}$

(533)

定数 $c_1$ は変位 $u_z$ が閉曲線 $L_1$ に沿って一価連続，すなわち，穴の周辺を一周しても変位に食い違いが生じない条件:

$\begin{displaymath} \oint_{L_1}du_z = 0 \end{displaymath}$

(534)

より決定される．式(8.9) ，式(8.18)および式(8.23)を用いれば，上式の左辺は，

$\displaystyle \oint_{L_1} du_z$	$\textstyle =$	$\displaystyle \omega\oint_{L_1}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle -\omega\oint_{L_1}\left(-\displaystyle\frac{\partial \Psi}{\partial y}dx + \frac{\partial \Psi}{\partial x}dy - ydx + xdy\right)$
	$\textstyle =$	$\displaystyle -\omega\oint_{L_1}\left( \displaystyle \frac{\partial \Psi}{\part... ...dy}{ds} - \frac{\partial \Psi}{\partial y}\frac{dx}{ds} \right)ds - 2\omega A_1$
	$\textstyle =$	$\displaystyle -\omega\oint_{L_1}\left(\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\parti... ...dx}{dn} + \frac{\partial \Psi}{\partial y}\frac{dy}{dn} \right)ds - 2\omega A_1$
	$\textstyle =$	$\displaystyle -\omega\oint_{L_1} \displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial n} ds - 2\omega A_1$	(535)