8章の演習問題

図に示すように一辺の長さが $a$ の正三角形の断面を有する棒が，ねじりモーメント $T$ を受けている場合について，以下の問に答えなさい．ただし，棒のせん断弾性係数を $G$ とする．
(1) ねじりの応力関数 $\Psi$ を，

$\begin{displaymath} \Psi=c\left(y-\sqrt{3}x-\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \left(y+\s... ...x-\frac{a}{\sqrt{3}}\right) \left(y+\frac{a}{2\sqrt{3}}\right) \end{displaymath}$ (538)

とおき，定数 $c$ の値を決定しなさい．
(2) 単位長さあたりのねじれ角 $\omega$ を， $T$ で表しなさい．
(3) 応力成分， $\tau_{zx}(x,y)$ ， $\tau_{yz}(x,y)$ を，求めなさい．また， $y$ ， $z$ 軸を含む面内( $x=0$ のせん断応力分布が $y$ の値によってどのように変化するかを図で示しなさい．
(4) ゆがみ関数 $f(x, y)$ を求めなさい．さらに，ねじりを加える前に平面であった面の $z$ 方向変位を示す等値線を模式的に示しなさい．

$\epsfile{file=mon7-1.eps,height=4cm}$
ねじりの応力関数 $\Psi$ を，

$\begin{displaymath} \Psi=a\left(x-b^2\frac{x}{x^2+y^2}\right) + \frac{1}{2}b^2 -\frac{1}{2}(x^2+y^2)=0 \end{displaymath}$ (539)

とおくと，
(1) 応力関数は，ポアソン方程式を満足することを確認しなさい．
(2) また， $\Psi$ は，図に示すような，切欠きを有する円形断面の境界で， $\Psi=0$ を満足することを示しなさい． (ヒント $x = r \cos \theta,\quad y = r \sin \theta,\quad x^2+y^2=r^2$ などを用いて， $r, \theta$ に変換する．)

$\epsfile{file=mon7-2.eps,height=4cm}$

Akihiro Nakatani 2001-06-25