サンブナンのねじり問題

前節の[III]の問題を考える．軸まわりのねじりモーメントを慣 例にならって"トルク"の頭文字と表すことにする．ねじりが加えられて いる両端から十分に離れた棒の中央部では，応力状態は，どの断面をとって見 ても同一となる．したがって，この問題は一つの断面のみを考えればよいから 2次元境界値問題として扱える．サンブナンのねじり問題 (St. Venant's torsion problem)という．

棒の断面で変位が0の点(ねじりの中心)を原点にとる．軸方向の単位長さあた りのねじれ角(比ねじれ角)をとすると，

$$u_x(x, y) = u_x(r, \theta)=-r\omega z\sin\theta=-yz\omega$$

$$u_y(x, y) = u_y(r, \theta)=r\omega z\cos\theta=xz\omega$$ (500)

となる．は， に無関係で，のみの関数であるというこ とは，いえるから，未知関数を導入して，

$$u_z(x, y)=f(x,y)\omega$$ (501)

すなわち，棒がねじりをうけると平面であった断面が，この関数の形に面外方 向に変形することになる．このような湾曲をゆがみ (warping)と呼び， のことをゆがみ関数 (warping function)とよぶ．をひずみ変位関係に代入して，さらに，応力ひずみ関係に代入する と，

$$\sigma_{x}=\sigma_{y}=\sigma_{z}=\tau_{xy}=0$$

$$\tau_{zx}=G\omega\left(\frac{\partial f}{\partial x}-y\right) \tau_{zy}=G\omega\left(\frac{\partial f}{\partial y}+x\right)$$ (502)

を得る．

一方，をナビアの方程式に代入すると，関数は，次の 微分方程式を満足する平面調和関数であることがわかる．

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.$$ (503)

次に，境界条件を考える．側面では，

$$n_x=\frac{dy}{ds},\quad n_y=-\frac{dx}{ds},\quad n_z=0$$ (504)

であるから，

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}-y\right)\frac{dy}{ds}- \... ...ial f}{\partial y}+x\right)\frac{dx}{ds}=0 \quad {\rm on} 境界$$ (505)

したがって，関数は，境界上で上式を満足する平面調和関数である．一 方，断面に作用するねじりモーメントは，

$$T = \int_{S}[x\tau_{zy}-y\tau_{zx}] dS$$

$$= G\omega\left[\int_{S}\left( x\frac{\partial f}{\partial y} -y\frac{\partial f}{\partial x}\right)dxdy+I_p\right]$$ (506)

ここで，は，断面2次極モーメントであり，

$$I_p=\int_S(x^2+y^2)dxdy$$ (507)

である．したがって，ねじりモーメントが与えられたならば，比ねじれ 角は，式(8.14)により決定される．もし, であるならば，

$$T=G\omega I_p$$ (508)

となり，材料力学で学んだ中実，中空丸棒のねじり問題の解に一致する．

次に，関数が満足しなければならない側面の境界条件式(8.13)を 書き直すと，

$$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dy}{ds}- \frac{\par... ...right) -\frac{1}{2}\frac{d}{ds}(x^2+y^2)=0 \quad {\rm on} 境界$$ (509)

さらに，以下のコーシー・リーマンの関係を満足する，平面調和関数に 共役な平面調和関数を導入する．

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial ... ...frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{\partial \psi}{\partial x}$$ (510)

は，次の関係を満足する．

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0.$$ (511)

境界条件式は，調和関数を用いて次のように書き直せる．

$$\frac{d\psi}{ds}-\frac{1}{2}\frac{d}{ds}(x^2+y^2)=0 \quad {\rm on} 境界$$ (512)

で積分すれば，

$$\psi-\frac{1}{2}(x^2+y^2)=c(定数) \quad {\rm on} 境界$$ (513)

ここで，断面が一つの閉曲線で囲まれている場合(単連結領域)は，定数を0と おいてよい．

一方，応力成分は，のかわりに，を用いると，

$$\tau_{zx}=G\omega\left(\frac{\partial \psi}{\partial y}-y\ri... ...u_{zy}=G\omega\left(-\frac{\partial \psi}{\partial x}+x\right)$$ (514)

である．いま，

$$\Psi=\psi-\frac{1}{2}(x^2+y^2)$$ (515)

なる関数 を導入すれば，

$$\Psi=0 \qquad {\rm on} \mbox{;境界上}$$ (516)

$$\tau_{zx}=G\omega\frac{\partial \Psi}{\partial y} ,\quad \tau_{zy}=-G\omega\frac{\partial \Psi}{\partial x}$$ (517)

となる．こののことをねじり応力関数 (torsional stress function)または，プラントル関数 (Prandtl function)という． に対する関係

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0$$ (518)

から，の満足すべきねじりの基礎方程式

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \Psi}{\partial y^2}=-2$$ (519)

を得る．また，ねじりモーメントは，

$$T = -G\omega \int_{S}\left( x\frac{\partial \Psi}{\partial x} +y\frac{\partial \Psi}{\partial y}\right)dxdy$$

$$= -G\omega \left[\int\left\{[x\Psi]_A^B-\int\Psi dx\right\}dy+ \int\left\{[y\Psi]_C^D-\int\Psi dy\right\}dx\right]$$

$$= 2G\omega\int_S\Psi dxdy$$ (520)

となる．結局，サンブナンのねじり問題はポアソン方程式を満足する応力関数 を境界上で0となるように決定する問題に帰着される．