弾性体の境界値問題

弾性体の境界値問題は，ある与えられた力学的境界条件 (領域表面での応力が規定される)と幾何学的境界条件 (領域表面での変位が規定される)のもとで，3方向の力の釣合方程式 (equations of equiliblium)と6つのひずみ-変位関係式 (strain - displacement relation)と6つの応力ひずみ関係式(constitutive equation 構成関係式)を全て満たすように，変位(displacement)の3つの成分 $u, v, w$ , ひずみ (strain)の6つの成分 $\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}, \gamma_{xy}$ , 応力(stress)の6 つの成分 $\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{yz}, \tau_{zx}, \tau_{xy}$ の合計15個の成分(それらは領域内の任意の位置の関数)の組を求める問題に帰着される．ここで，

(1)材料の均質性と等方性を仮定する．
(2)物体力を無視する．
(3)幾何学的対称性の考慮する．
(4)平面問題(平面応力と平面ひずみ，軸対称問題)として扱う．
(5)薄肉構造(板と殻)の問題として扱う．

などの，簡単化により，解析解を求めることができる場合もある．しかし，なお，境界値問題の大部分が，解析的に解を求めることができない．そこで，もっと一般的な問題の答を知りたい次のような数値解法により近似解を求める．

有限要素法 (Finite Element Method;FEM)
境界要素法 (Boundary Element Method;BEM)
差分法(Finite Difference Method;FDM)

それぞれ，差分近似，変分原理，積分定理とそれぞれ全く異なる理論を用いて，与えられた境界値問題を連立一次方程式に変換する．

Akihiro Nakatani 2001-06-25