エアリーの応力関数に対する境界条件

Figure 7.1: 2次元の境界

ここでは，エアリーの応力関数によって上の 力学的境界条件がどのようにあらわされるかを考える．

コーシーの関係から

$$\stackrel{n}{T}_x=\sigma_x n_x + \tau_{xy} n_y,\qquad \stackrel{n}{T}_x=\tau_{xy} n_x + \sigma_{y} n_y$$ (413)

となる． これをエアリーの応力関数であらわすと，

$$\stackrel{n}{T}_x= \left(\frac{\partial^2 \chi}{\partial y^2... ...+\left(\frac{\partial^2 \chi}{\partial x^2}+\Phi_F\right) n_y$$ (414)

を得る．ところで，

$$n_x=\frac{dy}{ds}=\frac{dx}{dn},\qquad n_y=-\frac{dx}{ds}=\frac{dy}{dn}$$ (415)

であるから，

$$\stackrel{n}{T}_x= \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\parti... ... =\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial \chi}{\partial y}\right)+\Phi_F\frac{dy}{ds}$$

$$\stackrel{n}{T}_y= -\frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{\part... ...=-\frac{d}{ds}\left(\frac{\partial \chi}{\partial x}\right)-\Phi_F\frac{dx}{ds}$$ (416)

となる．したがって，

$$d\left(\frac{\partial \chi}{\partial y}\right) =\stackrel{n}... ...ial \chi}{\partial x}\right) =-\stackrel{n}{T}_y ds +\Phi_F dx$$ (417)

を境界に沿って積分すればよいことになる．