エアリーの応力関数

物体力が保存力であるとき，ポテンシャルを用いて，

$$F_x=-\frac{\partial \Phi_F}{\partial x},\qquad F_y=-\frac{\partial \Phi_F}{\partial y}$$ (404)

のようにあらわされる時，これらをつりあい方程式に代入すると，

$$\frac{\partial}{\partial x}(\sigma_x - \Phi_F) + \frac{\part... ...artial x} + \frac{\partial}{\partial y}(\sigma_y - \Phi_F) = 0$$ (405)

ここで，天下り的に、

$$\sigma_x = \frac{\partial^2 \chi}{\partial y^2}+\Phi_F, \qqu... ...ad \tau_{xy} = - \frac{\partial^2 \chi}{\partial x \partial y}$$ (406)

とおけば，つりあい方程式は恒等的に満足される． この関数をエアリーの応力関数 (Airy's stress function) という．特に，物体力が作用しない時には，

$$\sigma_x = \frac{\partial^2 \chi}{\partial y^2}, \qquad \sig... ...ad \tau_{xy} = - \frac{\partial^2 \chi}{\partial x \partial y}$$ (407)

となる．次にが満足すべき方程式について考える．すでに， つりあい方程式は満足している(ように導入している)から，適合方 程式に代入すればよい．適合方程式に，応力ひずみ関係を代入して，

$$\frac{\partial^2}{\partial y^2}(\sigma_x - \nu^*\sigma_y) + ... ... =2(1+\nu^*)\frac{\partial^2 \tau_{xy}}{\partial x \partial y}$$ (408)

を得る．この応力成分をエアリーの応力関数であらわすと，

$$\frac{\partial^4\chi}{\partial x^4} +2\frac{\partial^4\chi}{... ...}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \Phi_F}{\partial y^2}\right)$$ (409)

あるいは，

$$\nabla_1^4\chi=-(1-\nu^*)\nabla_1^2\Phi_F$$ (410)

を得る． ここで，

$$\nabla_1^4=\nabla_1^2\nabla_1^2= \frac{\partial^4}{\partial ... ...ial^2}{\partial x^2} +\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)^2$$ (411)

とくに，物体力が作用しない時， 平面応力，平面ひずみ状態のいずれに対しても， エアリーの応力関数が満足すべき方程式は， 平面重調和方程式

$$\nabla_1^4\chi=0$$ (412)

となる．