平面問題の基礎式

弾性力学の一般論を平面問題に適用する場合として， 平面ひずみ状態と，平面応力状態を考えてきた．これらの状態を 生じされる物理的な条件は大きく異なるがその基礎式は類似した 形式になり以下のように統一的に扱えることがわかる．

すなわち， つりあい方程式は，

$$\frac{\partial\sigma_x}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +F_x=0$$

$$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial\sigma_y}{\partial y} +F_y=0$$

$$F_z=0$$ (396)

ひずみの適合方程式は，

$$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2... ...ial x^2} =\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$$ (397)

となり，平面ひずみと平面応力で同じ式になる． 一方，

$$\lambda^*=\left\{\begin{array}{lll}\lambda & ; & 平面ひずみ ... ...2\lambda\mu}{\lambda + 2\mu} & ; & 平面応力\end{array}\right .$$ (398)

$$E^*=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle\frac{E}{1-\nu^2} & ; & 平面ひずみ \\ E & ; & 平面応力\end{array}\right .$$ (399)

$$\nu^*=\left\{\begin{array}{lll}\displaystyle\frac{\nu}{1-\nu} & ; & 平面ひずみ \\ \nu & ; & 平面応力\end{array}\right .$$ (400)

とおくと，応力ひずみ関係は，

$$\sigma_x=(2\mu + \lambda^*) \epsilon_x + \lambda^* \epsilon_y,$$

$$\sigma_y= \lambda^* \epsilon_x + (2\mu + \lambda^*) \epsilon_y,$$

$$\tau_{xy}=2\mu\epsilon_{xy}$$ (401)

または，

$$\epsilon_{x}=\frac{1}{E^*}(\sigma_x -\nu^*\sigma_y),$$

$$\epsilon_{y}=\frac{1}{E^*}(\sigma_y -\nu^*\sigma_x),$$

$$\gamma_{xz}=\frac{\tau_{xy}}{G}$$ (402)

となり，ナビアの方程式は，

$$\mu\nabla^2 u_x +(\lambda^* +\mu) \frac{\partial e_1}{\partial x} + F_x = 0$$

$$\mu\nabla^2 u_y +( \lambda^* +\mu) \frac{\partial e_1}{\partial y} + F_y = 0$$ (403)

となり，同一ではないが，同一表示であるから， これらの方程式を解いて得られた境界値問題の解にも全く同様の対応が あることを意味するから，弾性定数の置き換えによって 一方の解は他方の解に変換でき解析的には統一的に扱えることがわかる．