平面応力

応力成分のうち，

$$\sigma_z=\tau_{yz}=\tau_{zx}=0$$ (388)

が成り立つとき，その物体は平面応力 (plane stress)の状態に あるという．このとき，応力ひずみ関係は，

$$\sigma_x=(2\mu + \lambda') \epsilon_x + \lambda' \epsilon_y,\qqua... ...' \epsilon_x + (2\mu + \lambda') \epsilon_y,\qquad \tau_{xy}=2\mu\epsilon_{xy},$$

$$\sigma_z = 0, \qquad \tau_{yz}=0, \qquad \tau_{zx}=0$$ (389)

または，

$$\epsilon_{x}=\frac{1}{E}(\sigma_x -\nu\sigma_y), \qquad \epsilon_... ...sigma_y -\nu\sigma_x), \qquad \epsilon_{z}=-\frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y),$$

$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G},\qquad \gamma_{yz}=0,\qquad \gamma_{zx}=0,$$ (390)

となる． ここで，

$$\lambda'=\frac{2\lambda\mu}{\lambda + 2\mu}$$ (391)

とおいている． また，つりあい方程式は，

$$\frac{\partial\sigma_x}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +F_x=0$$

$$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial\sigma_y}{\partial y} +F_y=0$$

$$F_z=0$$ (392)

となる．また，ナビアの方程式のうち意味のあるものは，

$$\mu\nabla^2 u_x +(\lambda' +\mu) \frac{\partial e_1}{\partial x} + F_x = 0$$

$$\mu\nabla^2 u_y +( \lambda' +\mu) \frac{\partial e_1}{\partial y} + F_y = 0$$ (393)

となる(第3式は自動的に満足される)．

一方，平面応力のときには，ひずみの適合方程式は，

$$\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 \eps... ... y \partial z} =\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial z \partial x}$$

$$\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 \eps... ... z \partial x} =\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial y \partial z}$$

$$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2} +\frac{\partial^2 \eps... ...\partial x \partial y} =-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial z^2}$$ (394)

の6つの式になる． 平面ひずみ問題では，応力やひずみはすべてのみの関数であったが， 平面応力問題では，これらは一般にの関数でもある． しかしながら，十分に薄い板を考えれば近似的に2次元と考えることができる． そこで，平面応力においても，ひずみの適合方程式は，

$$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2... ...ial x^2} =\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$$ (395)

だけ考えればよい．