平面ひずみ

直角座標系 において，変位ベクトル の成分 のうち，たとえばがいたるところ0であり，他の成分が，座標 のみの関数であるとき，平面ひずみ (plane strain)の状態にある という．すなわち，

$$u_x=u_x(x,y),\quad u_y=u_y(x,y),\quad u_z = 0$$ (375)

このとき，ひずみが零でないものは，

$$\epsilon_x=\frac{\partial u_x}{\partial x}, \quad \epsilon_y... ...frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x}$$ (376)

であり，これらは，に無関係となる．

さて，応力ひずみ関係は，

$$\sigma_x=(2\mu + \lambda) \epsilon_x + \lambda \epsilon_y, \qquad... ...mbda \epsilon_x + (2\mu + \lambda) \epsilon_y, \qquad \tau_{xy}=\mu\gamma_{xy},$$

$$\sigma_z = \lambda(\epsilon_x+\epsilon_y), \qquad \tau_{yz}=0, \qquad \tau_{zx}=0$$ (377)

または，

$$\epsilon_{x}=\frac{1}{E'}(\sigma_x -\nu'\sigma_y), \qquad \epsilon_{y}=\frac{1}{E'}(\sigma_y -\nu'\sigma_x),$$

$$\gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G},\qquad \epsilon_z=0, \qquad \gamma_{yz}=0,\qquad \gamma_{zx}=0$$ (378)

ここで，

$$E'=\frac{E}{1-\nu^2},\qquad \nu'=\frac{\nu}{1-\nu}$$ (379)

とおいている． また，方向の変位は零であるがその方向の応力は零でなく，

$$\sigma_z=\nu(\sigma_x+\sigma_y)$$ (380)

となる． 一方，応力のつりあい方程式は，

$$\frac{\partial\sigma_x}{\partial x} +\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} +F_x(x,y)=0$$

$$\frac{\partial\tau_{xy}}{\partial x} +\frac{\partial\sigma_y}{\partial y} +F_y(x,y)=0$$

$$F_z=0$$ (381)

また，ひずみの適合方程式は，

$$\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2... ...ial x^2} =\frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y}$$ (382)

平面ひずみ状態におけるナビアの方程式は，

$$\mu\nabla^2 u_x +(\lambda +\mu) \frac{\partial e_1}{\partial x} + F_x = 0$$

$$\mu\nabla^2 u_y +(\lambda +\mu) \frac{\partial e_1}{\partial y} + F_y = 0$$ (383)

ここで，

$$\nabla_1^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}... ...rac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y},$$ (384)

である． さて，いま，を仮定しているが，ここで，

$$u_z=u_z(z)$$ (385)

のように，に依存しない軸方向変位を許すものとする． このとき，物体力を0とおいたナビアの方程式は，

$$\frac{\partial^2 u_z}{\partial z^2} = 0$$ (386)

なので，

$$\frac{\partial u_z}{\partial z} = \epsilon_{z0} = {\rm const.}$$ (387)

となる． のときには上で述べた平面ひずみになるが， のときには平面ひずみの解に， を加え合わせればよいことになる． このような状態を一般化した平面ひずみ (generalized plane strain)状態という．