相反定理

物体力， 上で表面力 が与えられてつりあい状態(第1のつりあい状態とする)にある弾性体に生じる 応力を ， 変位を， ひずみを とする． つぎに，物体力， 上で表面力 として与えられてつりあい状態(第2のつりあい状態とする)にある弾性体に生じる 応力を ， 変位を， ひずみを とする．

まず，第1の物体力の表面力が第2の変位になした仕事を考えると，

$$W_{(1)(2)} = \int_{V}F^{(1)}_i u^{(2)}_i dV + \int_{S}\stackrel{n}{T}^{(1)}_i u^{(2)}_i dS$$

$$= \int_{V}F^{(1)}_i u^{(2)} dV + \int_{S}\sigma^{(1)}_{ij} n_j u^{(2)}_i dS$$

$$= \int_{V}F^{(1)}_i u^{(2)} dV + \int_{V}(\sigma^{(1)}_{ij} u^{(2)}_i)_{,j} dV$$

$$= \int_{V}F^{(1)}_i u^{(2)} dV + \int_{V}(\sigma^{(1)}_{ij,j} u^{(2)}_i dV + \int_{V}(\sigma^{(1)}_{ij} u^{(2)}_{i,j}) dV$$

$$= \int_{V}(\sigma^{(1)}_{ij} \epsilon^{(2)}_{ij}) dV$$ (353)

となる，同様に，第2の物体力の表面力が第1の変位になした仕事を考えると，

$$W_{(2)(1)} = \int_{V}F^{(2)}_i u^{(1)}_i dV + \int_{S}\stack... ...(1)}_i dS = \int_{V}(\sigma^{(2)}_{ij} \epsilon^{(1)}_{ij} dV$$ (354)

となる． これらの被積分項をフックの法則を用いて変形すれば，

$$\sigma^{(2)}_{ij}\epsilon^{(1)}_{ij} = (E_{ijkl}\epsilon^{(2)}_{kl})\epsilon^{(1)}_{ij} = (E_{klij}\epsi... ...2)}_{kl})\epsilon^{(1)}_{ij} = (E_{ijkl}\epsilon^{(2)}_{ij})\epsilon^{(1)}_{kl}$$

$$= (E_{ijkl}\epsilon^{(1)}_{kl})\epsilon^{(2)}_{ij} = \sigma^{(1)}_{ij}\epsilon^{(2)}_{ij}$$ (355)

となる． したがって，

$$W_{(1)(2)}=W_{(2)(1)}$$ (356)

または，

$$\int_{V}F^{(1)}_i u^{(2)}_i dV + \int_{S}\stackrel{n}{T}^{(2... ..._i u^{(1)}_i dV + \int_{S}\stackrel{n}{T}^{(1)}_i u^{(2)}_i dS$$ (357)

これは，第1の外力が第2の変位に対してなす仕事は， 第2の外力が第1の変位に対してなす仕事に等しいことを表しており， 相反定理(reciprocal theorem)という． 材料力学で学ぶ ベッティの相反定理 (Betti's reciprocal theorem)， は第1第2のつりあいが物体力が零で集中荷重を受ける 特別な場合で， マクスウェルの相反定理 (Maxwell's reciprocal theorem)は， さらに，その集中荷重の大きさが等しい 特別な場合である．