5章の演習問題

プリントの式(5.56)にでてくる，

$\begin{displaymath} \delta_{ik}\delta_{jl},\qquad \delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk} \end{displaymath}$ (277)

は，それぞれ座標変換によってその値が不変であることを示しなさい．
【ヒント】4階のテンソル $A_{ijkl}$ は， $A^\prime_{stuv}=A_{ijkl}Q_{si}Q_{tj}Q_{uk}Q_{vl}$ のように変換される． $Q_{ik}Q_{jk}=\delta_{ij}$ などの関係を用いる．
【コメント】このようなテンソルを等方テンソルという． $\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}(=e_{sij}e_{skl})$ も4階の等方テンソルであり，任意の4階の等方テンソルはこれら3 つの等方テンソルの線形和であらわされるが，等方体の弾性定数に関しては， $ij$ , $kl$ の対称性から最後の項は消える．最初の2つの係数が，ラーメの定数 $\lambda, \mu$ である．
フックの法則(プリント(5.54)式)から，応力の第一不変量 $J_1=\sigma_{ii}$ とひずみの第一不変量 $I_1=\epsilon_{ii}$ の関係を体積弾性係数を用いて表しなさい(ここで，(5.61)式を使いなさい)．この結果，平均応力 $\sigma_{\rm m}=J_1/3$ と体積ひずみの関係を求めなさい．
応力成分，

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \sigma_x=c[y^2+\nu(x^2-y^2)],\qquad \sigma_... ...yz}=0,\qquad \tau_{zx}=0,\qquad \tau_{xy}=-2c\nu xy \end{array}\end{displaymath}$ (278)

(ここで， $c$ は0でないある定数である)は，つりあい方程式を満足するが，弾性問題の解ではないことを示しなさい．
【ヒント】適合条件式を満足するかどうか．

Akihiro Nakatani 2001-06-25