等方体の構成式(フックの法則)

なる回転(座標変換)マトリクスでの変換

$$\bar{x}_i=Q_{ij}x_j$$ (234)

を考えるえる．このとき， 弾性係数テンソル，ひずみテンソル，応力テンソルは次の変換を受ける

$$\bar{E}_{ijkl}=E_{mnop}Q_{im}Q_{jn}Q_{ko}Q_{lp},\quad \bar{\... ...}\epsilon_{kl},\quad \bar{\sigma}_{ij}=Q_{ik}Q_{jl}\sigma_{kl}$$ (235)

まず，

$$Q_{ij}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]$$ (236)

を考えたとき，

$$\begin{array}{l} \bar{\sigma}_i=\sigma_i,\quad \bar{\epsilon... ...{\sigma}_5=-\sigma_{5}, \bar{\epsilon}_5=\epsilon_5 \end{array}$$ (237)

である． について，

$$\bar{\sigma}_1 = E_{11}\bar{\epsilon}_1 +E_{12}\bar{\epsilon}_2 +E_{13}\bar{\epsilon}_3 +E_{14}\bar{\epsilon}_4 +E_{15}\bar{\epsilon}_5 +E_{16}\bar{\epsilon}_6$$ (238)

$$= E_{11}{\epsilon}_1 +E_{12}{\epsilon}_2 +E_{13}{\epsilon}_3 -E_{14}{\epsilon}_4 -E_{15}{\epsilon}_5 +E_{16}{\epsilon}_6$$ (239)

であり，一方，

$${\sigma}_1=E_{11}{\epsilon}_1 +E_{12}{\epsilon}_2 +E_{13}{\e... ..._3 +E_{14}{\epsilon}_4 +E_{15}{\epsilon}_5 +E_{16}{\epsilon}_6$$ (240)

であるから，任意の に対して と なるためには， でなければならない． についても 同様な評価を行なうと， を得る．

$$\left[ \begin{array}{llllll} E_{11} & E_{12} & E_{13} & 0 & ... ...column{2}{l}{{\rm Sym.}} & & & & E_{66} \\ \end{array}\right]$$ (241)

続いて，

$$Q_{ij}=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ (242)

を考えると

$$\bar{\sigma}_5=-\sigma_{5},\quad \bar{\epsilon}_5=\epsilon_5... ...d \bar{\sigma}_6=-\sigma_{6},\quad \bar{\epsilon}_6=\epsilon_6$$ (243)

から，

$$\bar{\sigma}_1 = E_{11}\bar{\epsilon}_1 +E_{12}\bar{\epsilon}_2 +E_{13}\bar{\epsilon}_3 +E_{16}\bar{\epsilon}_6$$ (244)

$$= E_{11}{\epsilon}_1 +E_{12}{\epsilon}_2 +E_{13}{\epsilon}_3 -E_{16}{\epsilon}_6$$ (245)

で，一方，

$${\sigma}_1=E_{11}{\epsilon}_1 +E_{12}{\epsilon}_2 +E_{13}{\epsilon}_3 +E_{16}{\epsilon}_6$$ (246)

なので，を得る． 同様に， を得る． これは，直交異方体 (orthotropic body)と呼ばれ9個の弾性定数で表わされる．

$$\left[ \begin{array}{llllll} E_{11} & E_{12} & E_{13} & 0 & ... ...column{2}{l}{{\rm Sym.}} & & & & E_{66} \\ \end{array}\right]$$ (247)

さらに，異方性の主軸が互いに等価であるとすると， なる関係が成立するので， の3個の弾性定数で 表わされる．一般の立方晶(面心立方晶 (face center cubic crystal)， 体心立方晶 (body center cubic crystal))の弾性定数は このように3個で表わされる．

$$\left[ \begin{array}{llllll} E_{11} & E_{12} & E_{12} & 0 & ... ...column{2}{l}{{\rm Sym.}} & & & & E_{44} \\ \end{array}\right]$$ (248)

最後に，

$$Q_{ij}=\left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1... ...{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$ (249)

を考えると，

$$\begin{array}{l} \bar{\sigma}_1 = \displaystyle\frac12\sigma... ..._6, \quad \bar{\epsilon}_6 = -\epsilon_1+\epsilon_2 \end{array}$$ (250)

なので，

$$\sigma_1 = E_{11}\epsilon_1+E_{12}\epsilon_2+E_{12}\epsilon_3$$ (251)

$$\sigma_2 = E_{12}\epsilon_1+E_{11}\epsilon_2+E_{12}\epsilon_3$$ (252)

ゆえに，

$$\bar{\sigma}_6=\frac12(E_{11}-E_{12})(-\epsilon_1+\epsilon_2)$$ (253)

一方，

$$\sigma_6 = E_{44}\epsilon_6$$ (254)

$$\bar{\sigma}_6 = E_{44}\bar{\epsilon}_6$$ (255)

$$= E_{44}(-\epsilon_1+\epsilon_2)$$ (256)

比較すると，

$$E_{44}=\frac12(E_{11}-E_{12})\equiv \mu$$ (257)

ここで， とおくと，

$$E_{11}=\lambda+2\mu,\qquad E_{44}=\mu$$ (258)

と表わされる．

$$\left[ \begin{array}{llllll} \lambda+2\mu & \lambda & \lambd... ... \multicolumn{2}{l}{{\rm Sym.}} & & & & \mu \end{array}\right]$$ (259)

$$\sigma_{ij} = \lambda\delta_{ij}\epsilon_{kk}+2\mu\epsilon_{ij}$$ (260)

$$= [\lambda\delta_{ij}\delta_{kl} +\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})]\epsilon_{kl}$$ (261)

$$E_{ijkl}=\lambda\delta_{ij}\delta_{kl} +\mu(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})$$ (262)

この表式からわかるように， はもはやいかなる座標変換によっても その値を変えない定数になっていることがわかる． よって等方体の弾性定数は2個で表わされる． この式をフックの法則 (Hooke's law)という． ここで導入した は，ラーメの定数(Lamé's constants)と 呼ばれる． は，しばしば，と書かれ，横弾性係数(shear modulus) と呼ばれる．そのほかに，等方体の弾性定数には物理的意味を考慮して ポアソン比(Poisson ratio) ， ヤング率 (縦弾性係数) (Young modulus) ， 体積弾性係数 (bulk modulus) ， などさまざまな量が定義されるが， それらの量は以下のように，互いに独立な2つの量で記述される．

$$\lambda = \frac{2\mu\nu}{1-2\nu} =\frac{\mu(E-2\mu)}{3\mu-E} =K-\frac{2}{3}\mu =\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$$

$$= \frac{3K\nu}{1+\nu} =\frac{3K(3K-E)}{9K-E}$$ (263)

$$\mu=\frac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu} =\frac{3}{2}(K-\lambda) =... ...{E}{2(1+\nu)} =\frac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} =\frac{3KE}{9K-E}$$ (264)

$$\nu=\frac{\lambda}{2(\lambda+\mu)} =\frac{\lambda}{3K-\lamb... ...\frac{E}{2\mu}-1 =\frac{3K-2\mu}{2(3K+\mu)} =\frac{3K-E}{6K}$$ (265)

$$E = \frac{\mu(3\lambda+2\mu)}{\lambda+\mu} =\frac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu} =\frac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda} =2\mu(1+\nu)$$

$$= \frac{9K\mu}{3K+\mu} =3K(1-2\nu)$$ (266)

$$K=\lambda+\frac{2}{3}\mu =\frac{\lambda(1+\nu)}{3\nu} =\fr... ...u)}{3(1-2\nu)} =\frac{\mu E}{3(3\mu-E)} =\frac{E}{3(1-2\nu)}$$ (267)

ポアソン比が という 特殊な値の時には， となり，弾性体の方程式はかなり簡単化される． また，は，非圧縮性 (uncompressibility)を示す． が正であるという条件から，ポアソン比は

$$-1<\nu<\frac12$$ (268)

でなければならない．