線形弾性体の構成式

前節で述べた熱力学的関係式は， もとはといえばつりあい方程式から導いたものであり， 変形が微小であれば常に成立する関係である． この関係式を具体的な境界値問題に適用するためには， 物体の内部エネルギや自由エネルギ，熱力学的ポテンシャル が具体的にどのようなものかを明らかにする必要がある．そして， は，ひずみテンソルの関数，は， 応力テンソルの関数で表現されていなければならない． 一般的にこれは，厳密には事実上不可能である． しかしながら，ひずみが小さく，かつ温度変化() が小さい時には，自由エネルギをこれらのパラメータでべき級数に展開する ことができる． すなわち，

$$F = F_0 +\left.\frac{\partial F}{\partial \epsilon_{ij}}\right\vert _... ...ilon_{ij}\partial \epsilon_{kl}}\right\vert _0\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}+\cdots$$

$$+\left.\frac{\partial F}{\partial T}\right\vert _0T +\frac{1}{2}\left.\frac{\partial ^2 F}{\partial T^2}T^2\right\vert _0T^2 +\cdots$$

$$+\left.\frac{\partial ^2 F}{\partial \epsilon_{ij}\partial T}\right\vert _0 \epsilon_{ij}T\cdots$$ (226)

ここで， のとき， なので，ひずみの1次項は消える． また，3次以上の高次項は無視できるものとすると，

$$F=F_0 +\frac{1}{2}\left.\frac{\partial ^2 F}{\partial \epsil... ...\partial \epsilon_{ij}\partial T}\right\vert _0 \epsilon_{ij}T$$ (227)

ここで，

$$E_{ijkl}=\left.\frac{\partial ^2 F}{\partial\epsilon_{ij}\pa... ...eft.\frac{\partial ^2 F}{\partial \epsilon_{ij}}\right\vert _0$$ (228)

とおくと，結局

$$\sigma_{ij}=\left(\frac{\partial F}{\partial \epsilon_{ij}}\right)_T =E_{ijkl}\epsilon_{kl}-\beta_{ij}T$$ (229)

を得る． この式は，温度変化を伴う場合の 線形弾性体の構成式であり， デュアメル・ノイマンの関係 (Duhamel-Neumann's relation)という． を考えると，温度変化が無視できる場合の 線形弾性体の構成式

$$\sigma_{ij}=E_{ijkl}\epsilon_{kl}$$ (230)

を得る． 商法則により，は4階のテンソルであり弾性係数テンソル と呼ばれる．

弾性係数テンソルは， 個の成分を有するが， 応力テンソル，ひずみテンソルの対称性 から , が成り立つので， , の 個の成分で表わされる．

さらに，ひずみの二次形式で

$$A=\frac12 E_{ijkl}\epsilon_{ij}\epsilon_{kl}$$ (231)

の様に与えられるひずみエネルギ密度関数 が存在し，応力が，

$$\sigma_{ij}=\frac{\partial A}{\partial \epsilon_{ij}}$$ (232)

与えられる場合には， であるので， 個の定数によって応力ひずみ関係が規定される． 応力テンソル，ひずみテンソルの指標を のようにフォークト記号 (Voigt notation)で表わす，すなわち， とおく． また，弾性定数も のようにおくと， 応力ひずみ関係は

$$\left\{ \begin{array}{l} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 ... ... \epsilon_4 \\ \epsilon_5 \\ \epsilon_6 \end{array}\right\}$$ (233)

の様に表わされる．このように最も異方性が強い場合でも 21個の弾性定数で表わされる．