ひずみ

基準配置で，点Qが点Pの極近傍にあるとし，点Qの座標を $(a_1+da_1, a_2+da_2, a_3+da_3)$ とおくことにする．現配置では，点Qは，Q $^\prime$ 座標 $(x_1+dx_1, x_2+dx_2, x_3+dx_3)$ に運動したとする．点Pと点P $^\prime$ は本来物体中の同一の点であるから

$\begin{displaymath} x_i=x_i(a_1, a_2, a_3) \end{displaymath}$

(170)

のように1対1の対応関係にあるので，

$\begin{displaymath} dx_i=\frac{\partial x_i}{\partial a_j}da_j \end{displaymath}$

(171)

となる． $J_{ij}\equiv\partial a_i/\partial x_j$ は，ヤコビ行列(Jacobian matrix)と呼ばれる．さて，ここで，2点PQの距離を $ds_0$ , 2点P $^\prime$ Q $^\prime$ の距離を $ds$ とすると，

$\begin{displaymath} (ds_0)^2=da_ida_i,\qquad (ds)^2=dx_idx_i \end{displaymath}$

(172)

となるので，これらの差をとり，式(4.3)を用いると，

$\begin{displaymath} (ds)^2-(ds_0)^2=dx_idx_i-da_ida_i=\left(\frac{\partial x_k}... ...} \frac{\partial x_k}{\partial a_j}-\delta_{ij}\right)da_ida_j \end{displaymath}$

(173)

ここで，

$\begin{displaymath} E_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial x_k}{\partial a_i} \frac{\partial x_k}{\partial a_j}-\delta_{ij}\right) \end{displaymath}$

(174)

とおくと，

$\begin{displaymath} (ds)^2-(ds_0)^2=2E_{ij}da_ida_j \end{displaymath}$

(175)

となる．上の式の左辺はスカラーであり， $da_i$ , $da_j$ がベクトルであるから， $E_{ij}$ はテンソルである．さて， $E_{ij}=0$ の時には， $(ds)^2=(ds_0)^2$ を意味するので，変形のものさしとして， $E_{ij}$ を用いることができる．これをひずみテンソル (strain tensor)とよぶ．

式(4.2)を用いて書き下すと，

$\displaystyle E_{ij}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{\partial u_k}{\partial a_i}+\delta_... ... \left(\frac{\partial u_k}{\partial a_j}+\delta_{kj}\right) -\delta_{ij}\right]$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial a_j} +\frac{\parti... ...a_i} +\frac{\partial u_k}{\partial a_i}\frac{\partial u_k}{\partial a_j}\right)$	(176)

と表すことができる．さて，以上の議論は，長さの2乗の変化を変形前の座標 $a_i$ で表したものである．この様にして定義されるひずみテンソル $E_{ij}$ のことをとくに Greenのひずみテンソル または，Lagrange のひずみテンソル という．

一方，逆関係

$\begin{displaymath} a_i=a_i(x_1, x_2, x_3) \end{displaymath}$

(177)

が成り立つとし，式(4.3)のかわりに，

$\begin{displaymath} da_i=\frac{\partial a_i}{\partial x_j}dx_j \end{displaymath}$

(178)

を用いて，

$\begin{displaymath} (ds)^2-(ds_0)^2=dx_idx_i-da_ida_i=\left(\delta_{ij}- \frac{... ...\partial x_i} \frac{\partial a_k}{\partial x_j}\right)dx_idx_j \end{displaymath}$

(179)

を得る．ここで，

$\begin{displaymath} e_{ij}=\frac{1}{2}\left(\delta_{ij}-\frac{\partial a_k}{\partial x_i} \frac{\partial a_k}{\partial x_j}\right) \end{displaymath}$

(180)

とおくと，

$\begin{displaymath} (ds)^2-(ds_0)^2=2e_{ij}dx_idx_j \end{displaymath}$

(181)

このように，現配置の座標で表した場合のひずみテンソル $e_{ij}$ のことを Almansi のひずみテンソル または，Eulerのひずみテンソル という．

$\begin{displaymath} e_{ij}= \frac{1}{2} \left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}... ...ial u_k}{\partial x_i}\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\right) \end{displaymath}$

(182)

さて，

$\begin{displaymath} \frac{\partial}{\partial a_i} =\frac{\partial x_j}{\partial ... ...\frac{\partial u_j}{\partial a_i}\frac{\partial}{\partial x_j} \end{displaymath}$

(183)

であるが，変位や変位の勾配が小さい時には，変位の勾配の2次の項は無視できるので， Green-Lagrange のひずみと，Almansi-Euler のひずみの区別はなくなる．すなわち，

$\begin{displaymath} e_{ij}\approx E_{ij}\approx \epsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left... ...rtial u_j}{\partial x_i} \right) =\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}) \end{displaymath}$

(184)

このように微小変形理論 (infinitesimal theory)で得られるひずみテンソル， $\epsilon_{ij}$ をCauchy の微小ひずみテンソル (Cauchy's strain tensor) とよび，以後，単にひずみテンソルとよぶことにする．ここで述べたすべてのひずみテンソルは，その定義から明かなように対称テンソルであり，

$\begin{displaymath} E_{ij}=E_{ji}, \qquad e_{ij}=e_{ji}, \qquad \epsilon_{ij}=\epsilon_{ji} \end{displaymath}$

(185)

がなりたつ．具体的に， $x, y, z$ を用いて書くと，

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \epsilon_{xx}=\displaystyle\frac{\partial u... ...\displaystyle\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) \end{array}\end{displaymath}$

(186)

と表される．

さて，ひずみテンソルの工学的意味を明かにするために，まず， $x$ 軸方向の単軸引張変形を考える．

**Figure 4.2:** 棒の引張変形
$\begin{figure}\begin{center} \epsfile{file=c-2.eps,height=5cm}\end{center}\end{figure}$

原点が固定されていて長さ $l$ の棒が， $\Delta l$ だけ伸びたとき，座標 $x$ の点での変位は，

$\begin{displaymath} u_x=\frac{\Delta l}{l}x \end{displaymath}$

(187)

ゆえに，

$\begin{displaymath} \epsilon_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial u_y}=\frac{\Delta l}{l} \end{displaymath}$

(188)

一方，材料力学などでひずみを

$\begin{displaymath} \epsilon_{x}=\frac{\Delta l}{l} \end{displaymath}$

(189)

と定義しているから，

$\begin{displaymath} \epsilon_{xx}=\epsilon_{x} \end{displaymath}$

(190)

となる．同様に考えて，一般に

$\begin{displaymath} \epsilon_{xx}=\epsilon_{x},\qquad \epsilon_{yy}=\epsilon_{y},\qquad \epsilon_{zz}=\epsilon_{z} \end{displaymath}$

(191)

と書ける．次に，高さ $l$ のブロックが，せん断応力を受けて微小な角度 $\theta$ だけせん断変形を受ける場合を考える．

**Figure 4.3:** ブロックのせん断変形
$\begin{figure}\begin{center} \epsfile{file=c-3.eps,height=8cm}\end{center}\end{figure}$

$\begin{displaymath} \epsilon_{xy}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_x}{\partia... ...e/l\cdot y)}{\partial y} =\frac{1}{2}\frac{\Delta l^\prime}{l} \end{displaymath}$

(192)

となる．一方，材料力学の基礎では，

$\begin{displaymath} \gamma_{xy}=\theta\approx\tan\theta=\frac{\Delta l^\prime}{l} \end{displaymath}$

(193)

したがって，

$\begin{displaymath} \epsilon_{xy}=\frac{1}{2}\gamma_{xy} \end{displaymath}$

(194)

さらに一般的には，

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}=\displaystyle\f... ...{2}\gamma_{zx} =\displaystyle\frac{1}{2}\gamma_{xz} \end{array}\end{displaymath}$

(195)

このように，ひずみテンソルのせん断成分は，角度の変化で表される工学ひずみ (engineering strain)の半分の値を持つ．このような工学ひずみを用いてひずみ-変位関係 (strain-displacement relation)を次のようにおく．

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \epsilon_{x}=\displaystyle\frac{\partial u_... ...\displaystyle\frac{\partial u_x}{\partial z}\right) \end{array}\end{displaymath}$

(196)

工学ひずみにおいても明かに対称性がある．

[例]

変形前に， $dx, dy, dz$ の稜をもつ直方体が，図のように変形後平行六面体になった場合を考えて，工学ひずみ-変位関係を導く．

**Figure 4.4:** 微小直方体の変形
$\begin{figure}\begin{center} \epsfile{file=c-4.eps,height=7cm}\end{center}\end{figure}$

$\begin{displaymath} \begin{array}{l} \epsilon_x=\displaystyle\frac{(u_x+\partial... ...al y}+ \displaystyle\frac{\partial u_y}{\partial x} \end{array}\end{displaymath}$

(197)

同様にして， $\epsilon{z}, \gamma_{yz}, \gamma_{zx}$ も得られる．

Akihiro Nakatani 2001-06-25