ベクトルの内積とクロネッカーのデルタ

二つのベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$と $\mbox{\boldmath$y$}$の内積(スカラー積)は， $\mbox{\boldmath$x$}\cdot\mbox{\boldmath$y$}$と表記され，両ベクトルのなす角$\theta$ によって，

$$\mbox{\boldmath$x$}\cdot\mbox{\boldmath$y$}=\vert\mbox{\boldmath$x$}\vert\vert\mbox{\boldmath$y$}\vert\cos\theta$$ (10)

で定義される． 基底ベクトルの内積，

$$\delta_{ij}=\mbox{\boldmath$e$}_i\cdot\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (11)

で定義される$\delta_{ij}$は，クロネッカーのデルタ(Kronecker's delta) と呼ばれる． とくに，直角座標 (直交デカルト座標の時，

$$\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & ; & (i = j) \\ 0 & ; & (i \ne j) \end{array}\right.$$ (12)

『ポイント』 クロネッカーのデルタに関する以下の事項を確認して，無意識にこ れらの性質が使えるように練習しておこう．

1. 基底ベクトルの内積で定義される．

2. その定義から， $\delta_{ij}=\delta_{ji}$なる対称性がある．

3. $\delta_{ij}$を行列の$i$行$j$列の成分とすれば，その行列は， 単位行列である．

4. $\delta_{ii}=3$である．

5. $\delta_{ij}$が含まれる項に，もし添字$i$が現われた時，その添 字$i$を$j$に置き換えて自ら消えてなくなるはたらきをする．同様 に，$\delta_{ij}$が含まれる項に，添字$j$が現われた時，添字 $j$を$i$に置き換えて自ら消えてなくなるはたらきをする(指標の 置き換えの約束)．

6. 指標の置き換えの約束を使えば， $\delta_{ij}\delta_{ij}=\delta_{ii}=3$や， $\delta_{ij}\delta_{jk}=\delta_{ik}$も容易に理解できるので， 覚えるまでもない．

7. また，クロネッカーデルタの性質を利用すると， あるベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$に，基底ベクトル $\mbox{\boldmath$e$}_i$の内積 $\mbox{\boldmath$x$}\cdot\mbox{\boldmath$e$}_i$は，そのベクトルの成分$x_i$が取り出せ る(ベクトル成分取り出しの内積)．