外積と交代記号

二つのベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ $\mbox{\boldmath$y$}$の外積(ベクトル積)は, $\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath$y$}$と表記され,両ベクトルのなす角$\theta$ と,両ベクトルが作る平行四辺形の面に垂直で, $\mbox{\boldmath$x$}$ から $\mbox{\boldmath$y$}$ に向かって右ねじを回すときのねじの進む方向に向く単 位ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$によって,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath...
...mbox{\boldmath$x$}\vert\vert\mbox{\boldmath$y$}\vert\sin\theta
\end{displaymath} (13)

で定義される. とくに,直角座標 (直交デカルト座標)の時,
\begin{displaymath}
e_{ijk}\mbox{\boldmath$e$}_k=\mbox{\boldmath$e$}_i\times\mbox{\boldmath$e$}_j
\end{displaymath} (14)

で定義される$e_{ijk}$は,交代記号(permuation symbol) とよばれ,
\begin{displaymath}
e_{ijk}=\left\{\begin{array}{ccc}
1 & ; & i, j, k が,1, 2...
...が,1, 2, 3とその奇置換 \\
0 & ; & その他
\end{array}\right.
\end{displaymath} (15)

二つのベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$ $\mbox{\boldmath$y$}$の外積(ベクトル積)によって 得られるベクトルを $\mbox{\boldmath$z$}$とすると,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath...
...s(y_j\mbox{\boldmath$e$}_j)=x_iy_je_{ijk}\mbox{\boldmath$e$}_k
\end{displaymath} (16)

これに,ベクトル成分取り出しの内積によって,
\begin{displaymath}
z_k=x_iy_je_{ijk}
\end{displaymath} (17)


ポイント』 交代記号に関して

  1. 定義から,
    \begin{displaymath}
e_{ijk}=e_{jki}=e_{kij}=-e_{kji}=-e_{jik}=-e_{ikj}
\end{displaymath} (18)

    任意のベクトル,$A$に対して,
    \begin{displaymath}
e_{ijk}A_jA_k=0
\end{displaymath} (19)

  2. 行列 $a_{ij}$ の行列式 ${\rm det}[a_{ij}]=\vert a_{ij}\vert$ に関連して,
    $\displaystyle {\rm det}[a_{ij}]$ $\textstyle =$ $\displaystyle e_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$ (20)
      $\textstyle =$ $\displaystyle \displaystyle\frac{1}{6}e_{ijk}e_{lmn}a_{il}a_{jm}a_{kn}$ (21)


    \begin{displaymath}
e_{lmn}{\rm det}[a_{ij}] = e_{ijk}a_{il}a_{jm}a_{kn}
\end{displaymath} (22)

    なる関係がある.

  3. クロネッカーのデルタ$\delta_{ij}$と関連して,
    \begin{displaymath}
e_{ijk}e_{ist}=\delta_{js}\delta_{kt}-\delta_{jt}\delta_{ks}
\end{displaymath} (23)

    なる関係がある($e-\delta$恒等式). これから,
    \begin{displaymath}
e_{ijk}e_{ijm}=2\delta_{km}
\end{displaymath} (24)


    \begin{displaymath}
e_{ijk}e_{ijk}=2\delta_{kk}=6
\end{displaymath} (25)

    などの関係式が得られる.
  4. $\delta_{ii}=3$である.

Akihiro Nakatani 2001-06-25