外積と交代記号

二つのベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$と $\mbox{\boldmath$y$}$の外積(ベクトル積)は， $\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath$y$}$と表記され，両ベクトルのなす角$\theta$ と，両ベクトルが作る平行四辺形の面に垂直で， $\mbox{\boldmath$x$}$ から $\mbox{\boldmath$y$}$ に向かって右ねじを回すときのねじの進む方向に向く単 位ベクトル $\mbox{\boldmath$n$}$によって，

$$\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath$y$}=\mbox{\boldmath... ...mbox{\boldmath$x$}\vert\vert\mbox{\boldmath$y$}\vert\sin\theta$$ (13)

で定義される． とくに，直角座標 (直交デカルト座標)の時，

$$e_{ijk}\mbox{\boldmath$e$}_k=\mbox{\boldmath$e$}_i\times\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (14)

で定義される$e_{ijk}$は，交代記号(permuation symbol) とよばれ，

$$e_{ijk}=\left\{\begin{array}{ccc} 1 & ; & i, j, k が，1, 2... ...が，1, 2, 3とその奇置換 \\ 0 & ; & その他 \end{array}\right.$$ (15)

二つのベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$と $\mbox{\boldmath$y$}$の外積(ベクトル積)によって 得られるベクトルを $\mbox{\boldmath$z$}$とすると，

$$\mbox{\boldmath$z$}=\mbox{\boldmath$x$}\times\mbox{\boldmath... ...s(y_j\mbox{\boldmath$e$}_j)=x_iy_je_{ijk}\mbox{\boldmath$e$}_k$$ (16)

これに，ベクトル成分取り出しの内積によって，

$$z_k=x_iy_je_{ijk}$$ (17)

『ポイント』 交代記号に関して

1. 定義から，
   

   $$e_{ijk}=e_{jki}=e_{kij}=-e_{kji}=-e_{jik}=-e_{ikj}$$ (18)

   
   
   任意のベクトル，$A$に対して，
   

   $$e_{ijk}A_jA_k=0$$ (19)

   
   

2. 行列 $a_{ij}$ の行列式 ${\rm det}[a_{ij}]=\vert a_{ij}\vert$ に関連して，
   

   $${\rm det}[a_{ij}] = e_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$$ (20)

   $$= \displaystyle\frac{1}{6}e_{ijk}e_{lmn}a_{il}a_{jm}a_{kn}$$ (21)

   
   
   
   

   $$e_{lmn}{\rm det}[a_{ij}] = e_{ijk}a_{il}a_{jm}a_{kn}$$ (22)

   
   
   なる関係がある．

3. クロネッカーのデルタ$\delta_{ij}$と関連して，
   

   $$e_{ijk}e_{ist}=\delta_{js}\delta_{kt}-\delta_{jt}\delta_{ks}$$ (23)

   
   
   なる関係がある($e-\delta$恒等式)． これから，
   

   $$e_{ijk}e_{ijm}=2\delta_{km}$$ (24)

   
   
   
   

   $$e_{ijk}e_{ijk}=2\delta_{kk}=6$$ (25)

   
   
   などの関係式が得られる．
4. $\delta_{ii}=3$である．