解の唯一性

微小変形理論においては，ある与えられた境界条件を満足する解はただ一つに存在することが証明される．いま，与えられた境界条件を満足する2組の解が存在するとする．このとき，変位，応力，ひずみが，それぞれ， $u^{(1)}_i$ ， $\sigma^{(1)}_{ij}$ ， $\epsilon^{(1)}_{ij}$ ，および， $u^{(2)}_i$ ， $\sigma^{(2)}_{ij}$ ， $\epsilon^{(2)}_{ij}$ とする．これらの2つの解はそれぞれ，つりあい方程式を満足するから，

$\begin{displaymath} \sigma^{(1)}_{ij,j} + F_i =0,\qquad \sigma^{(2)}_{ij,j} + F_i =0 \end{displaymath}$

(365)

ここで，2つの解の差

$\begin{displaymath} u^*_i=u^{(1)}_i-u^{(2)}_i,\quad \sigma^*_{ij}=\sigma^{(1)}_{... ...,\quad \epsilon^*_{ij}=\epsilon^{(1)}_{ij}-\epsilon^{(2)}_{ij} \end{displaymath}$

(366)

を考えると，

$\begin{displaymath} \sigma^*_{ij,j}=0 \end{displaymath}$

(367)

となる．一方， $S_t$ 上での境界条件から，

$\begin{displaymath} \sigma^*_{ij}n_j=0\qquad {\rm on} S_t \end{displaymath}$

(368)

$S_u$ 上での境界条件から，

$\begin{displaymath} u^*_{i}=0\qquad {\rm on} S_u \end{displaymath}$

(369)

すなわち，2つの解の差の $*$ をつけた成分は，弾性体の領域内で物体力の無いつりあい方程式を満足し，境界上の力学的境界条件が与えられるところで表面力が0，幾何学的境界条件が与えられるところで変位が0となっている．つまり， $*$ をつけた成分に関するひずみエネルギ密度関数 $U^*_0$ を用いて応力成分を書き直せば，

$\begin{displaymath} \begin{array}{lll} \left(\displaystyle\frac{\partial U^*_0}{... ...j=0 & {\rm on} & S_t \\ u^*_{i}=0 & {\rm on} & S_u \end{array}\end{displaymath}$

(370)

となる．この最初の式の両辺に $u^*_i$ を掛けて領域にわたって積分すれば，

$\begin{displaymath} 0= \int_V u^*_i \left(\frac{\partial U^*_0}{\partial \epsilo... ...int_V \frac{\partial U^*_0}{\partial \epsilon^*_{ij}}u_{i,j}dV \end{displaymath}$