変形体の力学

剛体の力学では，物体の変形は剛体的に，すなわち，回転と並進の 組合せで記述される．一方，変形体の力学では，物体のゆがみ，すなわちそ れ自身の変形をも扱う．

すでに学んだ材料力学における棒の理論は，変形体の力学の中で最 も洗練されたものであり，質点が軸方向力(軸方向応力と断面積)と いう量を持っている一次元の点の集合であると考える．また，はり の理論は，質点が曲げモーメント(断面の最大曲げ応力と断面形状) とせん断力(断面形状)という量を持っているが，やはり一次元の点 の集合体に対する力学である．ここでいう，一次元というのは，そ の点の性質が，一次元の座標値(例えば )のみの関数で表され ることを意味している．

一方，本来は3次元的な広がりをもっている物体を扱うためには3次 元的な扱いが必要である．そして，それをスマートに表現するため には，ベクトル・テンソル解析が用いられる．

外力が大きくなると変形量は，大きくなるが，この外力の大きさが ある値以下では，外力を除くと，変形量は小さくなり元の状態に戻 る．このような変形を弾性変形(elastic deformation)と呼ぶ．もし，ヒステリシス を描いて元の状態に戻る場合には，サイクルを構成するのでエネル ギーの収支が零ではないので，ふつうは，弾性変形とは言わない．

さて，例として，材料力学の最初で学んだ棒の引張変形を考えてみ よう．ヤング率 kgf/mmの材料でできた断面積 mm，棒をkgfの力で引張るときの伸びは，

$$\epsilon= P/AE = 0.0005$$ (3)

長さ mmとすると，

$$\Delta l= Pl/AE = 200 \times 0.0005 = 0.1{\rm mm}$$ (4)

となる． このように変形前の長さを基準にすると，

$$\epsilon= \frac{l+\Delta l - l}{l} = 0.0005$$ (5)

変形後の長さを基準にすると，

$$\epsilon= \frac{l+\Delta l - l}{l + \Delta l}= 0.0004998$$ (6)

となる．このように微小変形では変形前の状態を基準にしても変形 後の値を基準にしても大きな差はないことがわかる．金属材料の多 くは，降伏が生じるひずみは1%にも満たず，弾性領域では微小変 形を仮定しても構わない．ここでは，物体の変形は極めて小さいと 仮定したときの理論，すなわち，微小変形理論(infinitesimal theory)を用いても良い．しかしながら，ゴムのような超弾性(hyper elasticity) を示す 材料では，微小変形では不十分であって，いわゆる有限変形 理論(finite deformation theory)を用いなければならない．