ひずみの適合方程式

ひずみ-変位関係

$$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i})$$ (199)

を考える． 一般に6つのひずみ成分 が 与えられたときに3つの変位を求めることを考えると， 変位が一意に求まるためには微分方程式の積分可能条件 (condition of integrability)あるいは 適合方程式 (equation of compatibility)を満足しなければならない． ひずみ変位関係を微分して

$$\epsilon_{ij,kl}=\frac12(u_{i,jkl}+u_{j,ikl})$$ (200)

さらに，指標を入れ換えた4つの式から，

$$\epsilon_{ij,kl}+\epsilon_{kl,ij}-\epsilon_{ik,jl}-\epsilon_{jl,ik}=0$$ (201)

を得る．これを，St.Venantの適合方程式と呼ぶ． 恒等的に成り立つものや同じ式の繰り返しを除くと以下の6個の 適合方程式を得る．

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{\partial^2\epsilon_x}{... ...splaystyle\frac{\partial^2\epsilon_y}{\partial x^2} \end{array}$$ (202)

円柱座標，球座標でのひずみの適合条件式は，かなり複雑な式になる． 導出は諸君に任せる．