主応力と応力の不変量

コーシーの関係からも明かなように，法線 を持つ面に作用する応力ベクトル は， の方向に依存する．したがって，ある面を選べば，その面に対しては， 応力ベクトルが垂直になることが考えられる．このような面を 主面 (principal plane), その法線を主軸 (principal axis)，あるいは，法線方向を 主方向(principal direction)， さらに，主面に作用する垂直応力を主応力 (principal stress)とよぶ． 主軸方向の単位ベクトルを ，対応する主応力を と すると，主面に作用する応力ベクトルは，

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}{T}_i=\sigma n_i$$ (153)

となり，垂直応力の成分だけとなる． 一方，このベクトルは，任意の面の応力テンソルによって コーシーの関係

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}T_i=\sigma_{ji}n_j;$$ (154)

のように表されるので，

$$(\sigma_{ij}-\sigma\delta_{ij})n_j=0$$ (155)

が0でない非自明解を持つためには，

$$\vert\sigma_{ij}-\sigma\delta_{ij}\vert=0$$ (156)

となる．これを展開すると，

$$\vert\sigma^3-J_1\sigma^2+J_2\sigma-J_3=0$$ (157)

ここで，は，

$$J_1=\sigma_{ii}=J_{\rm I}; J_1=\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = J_{\rm I}$$ (158)

$$\begin{array}{l} J_2=\displaystyle\frac{1}{2}e_{ijk}e_{imn}\... ...}^2 =\displaystyle\frac{1}{2}J_{\rm I}^2-J_{\rm II} \end{array}$$ (159)

$$\begin{array}{l} J_3=\displaystyle\frac{1}{6}e_{ijk}e_{pqr}\... ...^2-\sigma_z\tau_{xy}^2+2\tau_{xy}\tau_{yz}\tau_{zx} \end{array}$$ (160)

である．ただし，

$$J_{I}=\sigma_{ii}, \qquad J_{\rm II} = \frac12\sigma_{ij}\sigma_{ij}$$ (161)

一方，この関係式の解を とすると，

$$(\sigma - \sigma_1) (\sigma - \sigma_2) (\sigma - \sigma_3) = 0$$ (162)

なので，解と係数の関係より，

$$J_1=\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3$$ (163)

$$J_2=\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1$$ (164)

$$J_3=\sigma_1\sigma_2\sigma_3$$ (165)

主応力 および，， は，任意の点の応力の状態を規定するものであり， 座標系のとり方に依存しない， これらを応力の不変量 (invariant)とよび とくに，を主不変量 (principal invariant)とよぶ．