2章の演習問題

指標(添字付きの記号)を用いて次の関係を証明しなさい．ただし， $\mbox{\boldmath$u$}, \mbox{\boldmath$v$}, \mbox{\boldmath$s$}, \mbox{\boldmath$t$}$ などは，ベクトルとする．
(a) $\mbox{\boldmath$u$}\times\mbox{\boldmath$v$}=-\mbox{\boldmath$v$}\times\mbox{\boldmath$u$}$
(b) $(\mbox{\boldmath$s$}\times\mbox{\boldmath$t$})\cdot(\mbox{\boldmath$u$}\times... ...ath$s$}\cdot\mbox{\boldmath$v$})(\mbox{\boldmath$t$}\cdot\mbox{\boldmath$u$})$
(c) ${\rm rot}({\rm rot}\mbox{\boldmath$v$})={\rm grad}\ {\rm div} \mbox{\boldmath$v$} -\nabla^2 \mbox{\boldmath$v$}$
$T_{ij}$ が2階のテンソルであるとき， $T_{kk}$ がスカラーとなることを示しなさい．

【ヒント】 $T_{ij}$ が2階のテンソルであるということは，定義から， $T_{kl}=T^\prime_{ij}Q_{ik}Q_{jl}$ である．問題の， $T_{kk}$ がスカラーであることを示すには， $T_{kk}=T^\prime_{ii}$ となることを示せばよい．途中で， $\delta_{ij}=Q_{ik}Q_{jk}$ に気づけばOK．
円柱座標系 $(r, \theta, z)$ における2階の対称テンソルの成分 $A_{rr}, A_{\theta\theta}, A_{r\theta}(=A_{\theta r}),\cdots$ を直角座標系 $(x, y, z)$ における2階の対称テンソルの成分 $A_{xx}, A_{yy}, A_{xy}(=A_{yx}),\cdots$ によって表しなさい．

【ヒント】直角座標系 $(x, y, z)$ と，円柱座標系 $(r, \theta, z)$ の局所直角座標系 $(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ を対応づける座標変換は，次問の結果参照．前問のヒントと同様，2階のテンソルは， $A_{kl}=A^\prime_{ij}Q_{ik}Q_{jl}$ という関係がある．さらに，本問では，対称テンソル $A_{kl}=A_{lk}$ を考えていることに注意する．
【コメント】固体力学において頻出する応力テンソル，ひずみテンソルは，2階の対称テンソルであり，本問で導出する式は，これらのテンソルの座標変換に対して重要な関係式である．
直角座標系 $(x, y, z)$ を球座標系 $(r, \theta, \phi)$ に変換する方向余弦 $[Q_{ij}]$ を導きなさい．

【ヒント】直角座標系 $(x, y, z)$ と，円柱座標系 $(r, \theta, z)$ の局所直角座標系 $(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ を対応づける座標変換は講義中に述べた．以下が最終的な結果．

$\begin{displaymath}[Q_{ij}]= \left[\begin{array}{ccc} \cos\theta & \sin\theta & ... ... -\sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{displaymath}$

直角座標系 $(x, y, z)$ と，球座標系 $(r, \theta, \phi)$ の局所直角座標系 $(x^\prime, y^\prime, z^\prime)$ を対応づける座標変換は以下が最終的な結果．

$\begin{displaymath}[Q_{ij}]= \left[\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & \sin\... ...\sin\theta \\ -\sin\phi & \cos\phi & 0 \\ \end{array}\right] \end{displaymath}$

途中，角度の微小変化を長さの微小変化と対応させるために， $dx_1^\prime=dr$ ， $dx_2^\prime=rd\theta$ ， $dx_3^\prime=r\sin\theta d\phi$ の関係を用いる．

Akihiro Nakatani 2001-06-25