発散の成分表示

Figure 2.6: 微小直方体
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfile{file=1-6.eps,height=4cm} \end{center}\end{figure}

点P($x_1,x_2,x_3$)を,1頂点として, $\Delta x_1$, $\Delta x_2$, $\Delta x_3$の長さの辺を持つ直方体を $V$とし て,ガウスの発散定理を適用してみる. ベクトル $\mbox{\boldmath$v$}(x_1, x_2, x_3)=(v_1, v_2, v_3)$は,直方体内 で, $\mbox{\boldmath$v$}(x_1+\Delta x_1, x_2, x_3)=(
v_1+({\partial v_1}/{\partial x...
..._2}/{\partial x_1})\Delta x_1
, v_3+({\partial v_3}/{\partial x_1})\Delta x_1
)$, $\mbox{\boldmath$v$}(x_1, x_2+\Delta x_2, x_3)=(
v_1+({\partial v_1}/{\partial x...
..._2}/{\partial x_2})\Delta x_2
, v_3+({\partial v_3}/{\partial x_2})\Delta x_2
)$, $\mbox{\boldmath$v$}(x_1, x_2, x_3+\Delta x_3)=(
v_1+({\partial v_1}/{\partial x...
..._2}/{\partial x_3})\Delta x_3
, v_3+({\partial v_3}/{\partial x_3})\Delta x_3
)$ のように変化し,また,$x_1$, $x_2$, $x_3$軸に垂直な面の法線 ベクトルは,それぞれ, $n = (\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, \pm
1)$,辺の面積は, $\Delta x_2\Delta x_3$, $\Delta x_3\Delta x_2$, $\Delta x_1\Delta x_2$ であるから,高次の微小量を無視すると,


\begin{displaymath}
\int_\partial V\mbox{\boldmath$v$}\cdot\mbox{\boldmath$n$}dS...
...rtial v_1}{\partial x_1}
\right)\Delta x_1\Delta x_2\Delta x_3
\end{displaymath} (110)

これと,
\begin{displaymath}
\int_V {\rm div} \mbox{\boldmath$v$} dV = {\rm div} \mbox{\boldmath$v$} \Delta x_1\Delta x_2\Delta x_3
\end{displaymath} (111)

を比較すれば,
\begin{displaymath}
{\rm div} \mbox{\boldmath$v$} =
\frac{\partial v_1}{\partial...
...\partial v_2}{\partial x_2}
+\frac{\partial v_3}{\partial x_3}
\end{displaymath} (112)

となる.



Akihiro Nakatani 2001-06-25