ベクトルの発散定理

閉曲面(領域 $V$ を囲む，境界$\partial V$で表される)を 通る流束を考える． 領域$V$を決めると，それを取り囲む閉曲面$\partial V$を通る流 束は，一意に定まるので，それを，

$$\mu[V]=\int_{\partial V}\mbox{\boldmath$v$}\cdot\mbox{\boldmath$n$}dS$$ (105)

と表すことにする． 領域 $V$ を2つの領域$V_1$, $V_2$にわけることを，$V=V_1+V_2$ と表すことにすると，

$$\mu[V_1+V_2]=\mu[V_1]=\mu[V_2]$$ (106)

となる．これは，$V_1$と，$V_2$にともに含まれる境界では，$\partial V_1$と，$\partial V_2$の表と裏が逆になるので，流束の符号が 逆になって打ち消しあうからである．

$V$を限りなく小さく取った時の，$\mu$ の体積密度を，

$$\frac{d\mu}{dV}\equiv {\rm div} \mbox{\boldmath$v$}$$ (107)

と置き，発散(divergence)と呼ぶ．

$$\mu[V]=\int_V {\rm div} \mbox{\boldmath$v$} dV$$ (108)

であるから，

$$\int_\partial V\mbox{\boldmath$v$}\cdot\mbox{\boldmath$n$}dS =\int_V {\rm div} \mbox{\boldmath$v$} dV$$ (109)

となる．これを，ガウスの発散定理(divergence theorem)と呼ぶ．