ベクトルの勾配

$n$階のテンソル $P_{i_1i_2\cdots i_n}$を，$x_k$で偏微分すると，

$$P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n, k} \equiv \frac{\partial P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n}}{\partial x^\prime_k}$$ (93)

$$= \frac{\partial P_{j_1j_2\cdots j_n}}{\partial x^\prime_k} Q_{i_1j_1}Q_{i_2j_2} \cdots Q_{i_nj_n}$$ (94)

$$= \frac{\partial P_{j_1j_2\cdots j_n}}{\partial x_l} \frac{\partial x_l}{\partial x^\prime_k} Q_{i_1j_1}Q_{i_2j_2} \cdots Q_{i_nj_n}$$ (95)

$$= P_{j_1j_2\cdots j_n, l} Q_{i_1j_1}Q_{i_2j_2} \cdots Q_{i_nj_n}Q_{kl}$$ (96)

となり，得られた量は，やはり，テンソルであり，その階数は， $(n+1)$である．これを繰り返すと，$n$階のテンソルの$m$階偏導 関数は，$(n+m)$階のテンソルとなることがわかる．