テンソルの縮約

$n$階のテンソル $P_{i_1i_2\cdots i_n}$は，

$$P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} (x^\prime_1, x^\prime_2, x^\prim... ...{i_2j_2} \cdots Q_{i_nj_n} P_{j_1j_2\cdots j_n}(x_1, x_2, x_3)$$ (89)

なる変換法則に従うが，$i_1=i_2$として和をとると，

$$Q_{i_1j_1}Q_{i_1j_2}= \frac{\partial x^\prime_{i_1}}{\partia... ...} = \frac{\partial x_{j_2}}{\partial x_{j_1}} =\delta_{j_1j_2}$$ (90)

$$P^\prime_{i_1i_1i_3\cdots i_n} (x^\prime_1, x^\prime_2, x^\prime_3) = \delta_{j_1j_2} Q_{i_3j_3}\cdots Q_{i_nj_n} P_{j_1j_2j_3\cdots j_n}(x_1, x_2, x_3)$$ (91)

$$= Q_{i_3j_3}\cdots Q_{i_nj_n} P_{j_1j_1j_3\cdots j_n}(x_1, x_2, x_3)$$ (92)

すなわち，$(n-2)$階のテンソルになる．

一般に，テンソルの任意の指標の2つを等しくおいて和を とることを，縮約(contraction)という． 縮約によって，$n$階のテンソルから$(n-2)$階のテンソルが得られる． 2階のテンソルは，縮約によって0階のテンソルすなわちスカラーに なる．