商法則

3つの指標と27個の成分を持つある量$A_{ijk}$について考える. この量が3階のテンソルであるかどうかを知りたいが,まだ,3階の テンソルであるかどうかは明かでないので,混乱を避けるために, $A_{(i, j, k)}$と表しておく.

いま,あるベクトル $\mbox{\boldmath$v$}$を掛けて$i$について和をとって得られる

\begin{displaymath}
T_{jk} = A_{(i, j, k)}v_i
\end{displaymath} (97)

が,2階のテンソルであることがわかっていたとしよう.すると,
\begin{displaymath}
T_{jk} = T^\prime_{mn}Q_{mj}Q_{nk}
\end{displaymath} (98)

であり,
\begin{displaymath}
A_{(i, j, k)}v_i = A^\prime_{(l, m, n)}v^\prime_{l}Q_{mj}Q_{nk}
\end{displaymath} (99)

と表せる.一方,ベクトル $\mbox{\boldmath$v$}$は,
\begin{displaymath}
v^\prime_l=v_iQ_{li}
\end{displaymath} (100)

と変換されるから,
\begin{displaymath}
A_{(i, j, k)}v_i = A^\prime_{(l, m, n)}v_iQ_{li}Q_{mj}Q_{nk}
\end{displaymath} (101)


\begin{displaymath}
(A_{(i, j, k)}-A^\prime_{(l, m, n)}Q_{li}Q_{mj}Q_{nk})v_i=0
\end{displaymath} (102)

$v_i$は,任意であるので,
\begin{displaymath}
A_{(i, j, k)}=A^\prime_{(l, m, n)}Q_{li}Q_{mj}Q_{nk}
\end{displaymath} (103)

この式は,まさに3階のテンソルの変換法則を満足するものである から,$A_{(i, j, k)}$は,テンソルである. このことから,一般に次のことが言える.

あるテンソルであるかどうかわからない量 $\mbox{\boldmath$A$}$にテンソル $\mbox{\boldmath$B$}$をかけて,縮約を行なった結果,テンソルであることが わかっている量 $\mbox{\boldmath$C$}$が得られたならば, もとの, $\mbox{\boldmath$A$}$は,テンソルである.このことを商法則 (quatient rule)という.

Akihiro Nakatani 2001-06-25