高階のテンソル

$\mbox{\boldmath$S$}$が，4個の指標を持つ81個の成分$S_{mnst}$と， $S^\prime_{ijkl}$で表されるとき，

$$S^\prime_{ijkl} (x^\prime_1, x^\prime_2, x^\prime_3) = Q_{im}Q_{jn} Q_{ks}Q_{lt} S_{mnst}(x_1, x_2, x_3)$$ (79)

のように関係づけられるならば， $\mbox{\boldmath$S$}$は4階のテンソル(fourth order tensor)であるという． 一般に，$n$階のテンソルは，

$$P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} (x^\prime_1, x^\prime_2, x^\prim... ...{i_2j_2} \cdots Q_{i_nj_n} P_{j_1j_2\cdots j_n}(x_1, x_2, x_3)$$ (80)

で定義される．スカラーは，0階のテンソル(zero order tensor)と もいい，ベクトルは，1階のテンソル(first order tensor)ともい う．

[例]

問 座標系 $O-x_1x_2x_3$に対して，9つの成分を持つ量 $B_{ij}$が， $O-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$に対して，$B^\prime_{ij}$ と，

$$B^\prime_{ij} = B_{mn}Q_{im}Q_{jn}+C_{ij}$$ (81)

で，関係づけられるとき， $\mbox{\boldmath$B$}$は，テンソルか?

答 $C_{ij} = 0$ならば，テンソルであるが， $C_{ij} \ne 0$ならば，テン ソルではない．

[例] テンソルの成分が全て0であるとき，任意の変換に対して，変換後 もテンソルの成分は全て0である． すなわち，

$$P_{j_1j_2\cdots j_n} = 0 \quad (任意の j_1, j_2, \cdots j_n)$$ (82)

ならば，

$$P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} = 0\quad (任意の i_1, i_2, \cdots i_n)$$ (83)

である．

[例]

座標系$O-x_1x_2x_3$で，テンソルの成分に関する方程式が得られ ているとする．

$$A_{j_1j_2\cdots j_n} = B_{j_1j_2\cdots j_n}$$ (84)

これを書き換えて，

$$P_{j_1j_2\cdots j_n} = A_{j_1j_2\cdots j_n} - B_{j_1j_2\cdots j_n}$$ (85)

と置くと，

$$P_{j_1j_2\cdot j_n} = 0 \quad (任意の j_1, j_2, \cdots j_n)$$ (86)

ゆえに，

$$P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} = 0\quad (任意の i_1, i_2, \cdots i_n)$$ (87)

$$A^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} = B^\prime_{i_1i_2\cdots i_n}$$ (88)

結局，ある座標系で得られたテンソルの成分の方程式は，別の座標 系でも同じ形の方程式で表される．これをテンソルの座標不変性 (coordinate invariance)という．