高階のテンソル

$\mbox{\boldmath$S$}$が,4個の指標を持つ81個の成分$S_{mnst}$と, $S^\prime_{ijkl}$で表されるとき,

\begin{displaymath}
S^\prime_{ijkl}
(x^\prime_1, x^\prime_2, x^\prime_3) =
Q_{im}Q_{jn}
Q_{ks}Q_{lt}
S_{mnst}(x_1, x_2, x_3)
\end{displaymath} (79)

のように関係づけられるならば, $\mbox{\boldmath$S$}$は4階のテンソル(fourth order tensor)であるという. 一般に,$n$階のテンソルは,
\begin{displaymath}
P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n}
(x^\prime_1, x^\prime_2, x^\prim...
...{i_2j_2}
\cdots Q_{i_nj_n}
P_{j_1j_2\cdots j_n}(x_1, x_2, x_3)
\end{displaymath} (80)

で定義される.スカラーは,0階のテンソル(zero order tensor)と もいい,ベクトルは,1階のテンソル(first order tensor)ともい う.

[例]

座標系 $O-x_1x_2x_3$に対して,9つの成分を持つ量 $B_{ij}$が, $O-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$に対して,$B^\prime_{ij}$ と,

\begin{displaymath}
B^\prime_{ij} = B_{mn}Q_{im}Q_{jn}+C_{ij}
\end{displaymath} (81)

で,関係づけられるとき, $\mbox{\boldmath$B$}$は,テンソルか?

$C_{ij} = 0$ならば,テンソルであるが, $C_{ij} \ne 0$ならば,テン ソルではない.

[例] テンソルの成分が全て0であるとき,任意の変換に対して,変換後 もテンソルの成分は全て0である. すなわち,

\begin{displaymath}
P_{j_1j_2\cdots j_n} = 0 \quad (任意の j_1, j_2, \cdots j_n)
\end{displaymath} (82)

ならば,
\begin{displaymath}
P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} = 0\quad (任意の i_1, i_2, \cdots i_n)
\end{displaymath} (83)

である.

[例]

座標系$O-x_1x_2x_3$で,テンソルの成分に関する方程式が得られ ているとする.

\begin{displaymath}
A_{j_1j_2\cdots j_n} = B_{j_1j_2\cdots j_n}
\end{displaymath} (84)

これを書き換えて,
\begin{displaymath}
P_{j_1j_2\cdots j_n} = A_{j_1j_2\cdots j_n} - B_{j_1j_2\cdots j_n}
\end{displaymath} (85)

と置くと,
\begin{displaymath}
P_{j_1j_2\cdot j_n} = 0
\quad (任意の j_1, j_2, \cdots j_n)
\end{displaymath} (86)

ゆえに,
\begin{displaymath}
P^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} = 0\quad (任意の i_1, i_2, \cdots i_n)
\end{displaymath} (87)


\begin{displaymath}
A^\prime_{i_1i_2\cdots i_n} = B^\prime_{i_1i_2\cdots i_n}
\end{displaymath} (88)

結局,ある座標系で得られたテンソルの成分の方程式は,別の座標 系でも同じ形の方程式で表される.これをテンソルの座標不変性 (coordinate invariance)という.

Akihiro Nakatani 2001-06-25