ベクトルの座標変換

Figure 2.2: 座標変換
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfile{file=1-2.eps,height=5cm} \end{center}\end{figure}

ある位置ベクトル $\mbox{\boldmath$x$}$は,座標系$O-x_1x_2x_3$の成分$x_j$ で表すと,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}=x_j\mbox{\boldmath$e$}_{j}
\end{displaymath} (26)

別の座標系 $O-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$の成分 $x^\prime_j$で表すと,
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}=x^\prime_j\mbox{\boldmath$e$}^\prime_{j}
\end{displaymath} (27)

となる.この二式を等しいとおいて, $\mbox{\boldmath$e$}_i$とのスカラー積 をとると
$\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}_i)x_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}^\prime_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}_i)x^\prime_j$ (28)
$\displaystyle \delta_{ji}x_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}^\prime_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}_i)x^\prime_j$ (29)
$\displaystyle x_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}^\prime_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}_i)x^\prime_j$ (30)

を得る.いま, $\mbox{\boldmath$e$}^\prime_i\cdot\mbox{\boldmath$e$}_j$ を,$Q_{ij}$ とおくことにすると,
\begin{displaymath}
x_i = Q_{ji}x^\prime_j
\end{displaymath} (31)

と表される.同様にして, $\mbox{\boldmath$e$}^\prime_i$とのスカラー積をと ると
$\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}^\prime_i)x_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}^\prime_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}^\prime_i)x^\prime_j$ (32)
$\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}^\prime_i)x_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle \delta_{ji}x^\prime_j$ (33)
$\displaystyle (\mbox{\boldmath$e$}_j\cdot\mbox{\boldmath$e$}^\prime_i)x_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle x^\prime_i$ (34)
$\displaystyle Q_{ij}x_j$ $\textstyle =$ $\displaystyle x^\prime_i$ (35)

つまり,記号表示すると,

\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}=\mbox{\boldmath$Q$}^{\rm T}\mbox{\boldmath$x$}^\prime
\end{displaymath} (36)


\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$x$}^\prime=\mbox{\boldmath$Q$}\mbox{\boldmath$x$}
\end{displaymath} (37)

これらから,
\begin{displaymath}
\mbox{\boldmath$Q$}^{\rm T}=\mbox{\boldmath$Q$}^{-1}
\end{displaymath} (38)

であることがわかる.

次に,ベクトル$x_i$から微小量変化したベクトル$x_i+dx_i$と, ベクトル$x^\prime_j$から微小量変化したベクトル $x^\prime_j+dx^\prime_j$も,同じ関係によって変換されるから,

\begin{displaymath}
x_i+dx_i = Q_{ji} (x^\prime_i+dx^\prime_i)
\end{displaymath} (39)

展開して, $x_i = Q_{ji}x^\prime_j$を代入すると,
\begin{displaymath}
dx_i = Q_{ji} dx^\prime_j
\end{displaymath} (40)

同様にして,
\begin{displaymath}
dx^\prime_i = Q_{ij} dx_j
\end{displaymath} (41)

が得られる.一般に,全微分 $dx_i$, $dx^\prime_i$ は,
$\displaystyle dx_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}dx^\prime_j$ (42)
$\displaystyle dx^\prime_i$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_i}{\partial x_j}dx_j$ (43)

と表せるので,結局,
$\displaystyle Q_{ji}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x_i}{\partial x^\prime_j}$ (44)
$\displaystyle Q_{ij}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_i}{\partial x_j}$ (45)

であることがわかる.

$Q_{ij}$は,方向余弦(direction cosine)とよばれる.

一般のベクトル $\mbox{\boldmath$v$}$に対しても, $ \mbox{\boldmath$v$}=v_j\mbox{\boldmath$e$}_{j}=v^\prime_j\mbox{\boldmath$e$}^\prime_{j}$と表 せるから,同じ関係が成り立つ.

[例]

座標系$O-x_1x_2x_3$と,別の座標系 $O-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$が与えられた時, 方向余弦 $Q_{ij}$ を成分とする行列 $\mbox{\boldmath$Q$}$ の行列式は,1で あることを示そう.

$O-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$座標系の, 基底ベクトル, $\mbox{\boldmath$e$}^\prime_1$, $\mbox{\boldmath$e$}^\prime_2$, $\mbox{\boldmath$e$}^\prime_3$ に平行な, $\mbox{\boldmath$u$}$, $\mbox{\boldmath$v$}$, $\mbox{\boldmath$w$}$ を考えると,これらは互いに直交する単位ベクトルであるから,

スカラー三重積を考えると,

\begin{displaymath}
(\mbox{\boldmath$u$}\times\mbox{\boldmath$v$})\cdot\mbox{\bo...
...^\prime_iv^\prime_jw^\prime_k=u^\prime_1v^\prime_2w^\prime_3=1
\end{displaymath} (46)

となる.一方,
$\displaystyle (\mbox{\boldmath$u$}\times\mbox{\boldmath$v$})\cdot\mbox{\boldmath$w$}$ $\textstyle =$ $\displaystyle e_{ijk}u_iv_jw_k$ (47)
  $\textstyle =$ $\displaystyle e_{ijk}Q_{li}u^\prime_l Q_{mj}v^\prime_m Q_{nk}w^\prime_n$ (48)
  $\textstyle =$ $\displaystyle e_{ijk}Q_{1i}u^\prime_1 Q_{2j}v^\prime_2 Q_{3k}w^\prime_3$ (49)
  $\textstyle =$ $\displaystyle {\rm det}[\mbox{\boldmath$Q$}]u^\prime_1v^\prime_2w^\prime_3=1$ (50)

したがって,
\begin{displaymath}
{\rm det}[\mbox{\boldmath$Q$}] = 1
\end{displaymath} (51)

であることが示された.

[例]

座標系$O-x_1x_2x_3$$x_3$軸のまわりに,角度$\theta$だけ回転した座標系 $O-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$とを関係づける方向余弦 $Q_{ij}$は,


$\displaystyle x^\prime_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_1 \cos\theta + x_2 \sin\theta$ (52)
$\displaystyle x^\prime_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle - x_1 \sin\theta + x_2 \cos\theta$ (53)
$\displaystyle x^\prime_3$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_3$ (54)

したがって,
\begin{displaymath}[Q_{ij}]= \left[\begin{array}{ccc}
\cos\theta & \sin\theta & ...
...
-\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{displaymath} (55)

Figure 2.3: $x_3$軸まわりの回転
\begin{figure}\begin{center}
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\epsfile{file=1-3.eps,height=5cm} \end{center}\end{figure}

[例]

円柱(円筒)座標 $(r, \theta, z)$について直角座標系 $O-x_1x_2x_3$との関係を考えてみよう. $(r, \theta, z)$ をその まま, $(x^\prime_1,x^\prime_2,x^\prime_3)$と考えると,これは, 線形変換にはならないので,いかに工夫しても,式(??)のような形 では表せないことがわかる.そこで,点P $(r, \theta, z)$,すな わち,P $(x_1, x_2, x_3)$に,局所直角座標系 $P-x^\prime_1x^\prime_2x^\prime_3$を考える.

Figure 2.4: 円柱座標
\begin{figure}\begin{center}
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\epsfile{file=1-4.eps,height=4cm} \end{center}\end{figure}

関係,

$\displaystyle x_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle r\cos\theta$ (56)
$\displaystyle x_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle r\sin\theta$ (57)
$\displaystyle x_3$ $\textstyle =$ $\displaystyle z$ (58)

あるいは,その逆関係,
$\displaystyle r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2}$ (59)
$\displaystyle \theta$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\rm Tan}^{-1}\left(\displaystyle\frac{x_2}{x_1}\right)$ (60)
$\displaystyle z$ $\textstyle =$ $\displaystyle x_3$ (61)

を用いて,
$\displaystyle Q_{11}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_1}{\partial x_1}
= \frac{\partial r}{\partial x_1}
= \frac{2x_1}{2\sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2}} = \frac{x_1}{r} =
\cos\theta$ (62)
$\displaystyle Q_{12}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_1}{\partial x_2}
= \frac{\partial r}{\partial x_2}
= \frac{x_2}{r} =
\sin\theta$ (63)
$\displaystyle Q_{21}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_2}{\partial x_1}
= r\frac{\partial \theta}{\partial x_1}
= -\frac{x_2}{r} =
-\sin\theta$ (64)
$\displaystyle Q_{22}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_2}{\partial x_2}
= r\frac{\partial \theta}{\partial x_2}
= \frac{x_1}{r} =
\cos\theta$ (65)
$\displaystyle Q_{33}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\partial x^\prime_3}{\partial x_3}
= \frac{\partial z}{\partial x_3}
= \frac{x_3}{z} = 1$ (66)
$\displaystyle Q_{ij}$ $\textstyle =$ $\displaystyle 0 \quad (その他)$ (67)

したがって,

\begin{displaymath}[Q_{ij}]= \left[\begin{array}{ccc}
\cos\theta & \sin\theta & ...
...
-\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
\end{displaymath} (68)

となる[*]

[例]

Figure 2.5: 球座標
\begin{figure}\begin{center}
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\epsfile{file=1-5.eps,height=4cm} \end{center}\end{figure}

球座標 $(r, \theta, \phi)$についても,円柱座標と同様に,局所 直角座標系をとることによって,

$\displaystyle r$ $\textstyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2}$ (69)
$\displaystyle \theta$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\rm cos}^{-1}\left\{\displaystyle\frac{x_3}{\sqrt{(x_1)^2+(x_2)^2+(x_3)^2}}\right\}$ (70)
$\displaystyle \phi$ $\textstyle =$ $\displaystyle {\rm Tan}^{-1}\left(\displaystyle\frac{x_2}{x_1}\right)$ (71)

および,
$\displaystyle x_1$ $\textstyle =$ $\displaystyle r\sin\theta\cos\phi$ (72)
$\displaystyle x_2$ $\textstyle =$ $\displaystyle r\sin\theta\sin\phi$ (73)
$\displaystyle x_3$ $\textstyle =$ $\displaystyle r\cos\theta$ (74)

の関係を使って計算できる.詳細は演習として残すことにしてここ では結果のみを示そう.
\begin{displaymath}[Q_{ij}]= \left[\begin{array}{ccc}
\sin\theta\cos\phi & \sin\...
...\sin\theta \\
-\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
\end{array}\right]
\end{displaymath} (75)

となる[*]

Akihiro Nakatani 2001-06-25