変分法

区間 $[a,b]$ の低積分で次式のように表わせる関数 $u(x)$ が変われば別の値になるような対応関係を考える．

$\begin{displaymath} I[u(x)]=\int_a^b F[u(x)] dx \end{displaymath}$

(563)

この"関数 $\rightarrow$ 実数"の対応関係を汎関数 (functional)という．

$\begin{displaymath} u(\mbox{}) \rightarrow \framebox{汎関数}\rightarrow 2.317\cdots \end{displaymath}$

汎関数は，「関数の関数」であり， $u$ はその変数に相当し， 変関数(variable function)と呼ばれる．

数学や物理学における変分問題の例としては，等周問題(周の長さが一定の曲線で囲まれた領域の面積を最大にする問題) エネルギー原理，ハミルトンの原理など変分原理と称される問題がある．

ここで汎関数，

$\begin{displaymath} I[u(x)]=\int_a^b F[x, u, u'] dx \end{displaymath}$

(564)

の停留値問題を考える．ここで， $u=u(x), u'=du/dx$ とおいている．境界条件として， $u(a)=u_a, u(b)=u_b$ が規定されているとする． $I[u]$ を停留化する関数を $u(x)$ と書く．任意の許容関数(admissible function, 上記の境界条件と必要な微分可能性の条件を満足する関数) $\bar{u}(x)$ は次のように表わせる．

$\begin{displaymath} \bar{u}(x)=u(x)+\epsilon v(x) \end{displaymath}$

(565)

ここで，

$\displaystyle {I[u(x)+\epsilon v(x)]-I[u(x)]}$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_a^b F[x, u + \epsilon v, u' + \epsilon v']dx - \int_a^b F[x, u, u']dx$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_a^b \left(\frac{\partial F}{\partial u}\epsilon v +\frac{\partial F}{\partial u'}\epsilon v'\right)dx$
		$\displaystyle +\frac12 \int_a^b \left(\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\epsilon... ...ilon^2 vv' +\frac{\partial^2 F}{\partial u'^2}\epsilon^2 v'^2\right)dx + \cdots$	(566)

のような Taylor 展開を考え，これを

$\begin{displaymath} I[u(x)+\epsilon v(x)]-I[u(x)]=\delta I + \delta^2 I + \cdots \end{displaymath}$

(567)

と表わす． $\delta$ は変分作用素(変分演算子)であり，

$\begin{displaymath} \delta I = \left\{\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{I[u(x)+\epsilon v(x)]-I[u(x)]}{\epsilon}\right\}\epsilon \end{displaymath}$

(568)

のように作用する． $\delta I$ , $\delta^2 I$ は， $I$ の第1変分 (first variation)， 第2変分(second variation) と呼ばれる量である．汎関数 $I$ の停留条件は，

$\begin{displaymath} \delta I= \int_a^b \left(\frac{\partial F}{\partial u}\epsilon v + \frac{\partial F}{\partial u'}\epsilon v'\right)dx = 0 \end{displaymath}$

(569)

によって与えられる． $\epsilon v(x)$ を $\delta u(x)$ ， $\epsilon v'(x)$ を $\delta u'(x)$ と書くと，

$\begin{displaymath} \delta I= \int_a^b \left(\frac{\partial F}{\partial u}\delta u + \frac{\partial F}{\partial u'}\delta u'\right)dx = 0 \end{displaymath}$

(570)

部分積分すれば，

$\begin{displaymath} \delta I= \left[\frac{\partial F}{\partial u'}\right]_a^b+ \... ...ft(\frac{\partial F}{\partial u'}\right)\right]\delta u dx = 0 \end{displaymath}$

(571)

$v(x)$ に関する条件から，第1項は零なので，

$\begin{displaymath} \delta I= \int_a^b \left[\frac{\partial F}{\partial u}- \fra... ...ft(\frac{\partial F}{\partial u'}\right)\right]\delta u dx = 0 \end{displaymath}$

(572)

$\delta u(x)$ は任意に変化できるので，被積分関数が区間 $(a, b)$ において零になる必要がある(変分学における基本補助定理 )ので，

$\begin{displaymath} \frac{\partial F}{\partial u}- \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial u'}\right) = 0 \end{displaymath}$

(573)

となる．汎関数の停留問題に対する Euler方程式と呼ばれる．この過程を要約すると，

$\begin{displaymath} \framebox{$I[u(x)]$の停留問題}\rightarrow \framebox{部分... ...amebox{変分学の基本補助定理}\rightarrow \framebox{Euler方程式}\end{displaymath}$

となる．

次に，付帯条件，

$\begin{displaymath} \int_a^b G[x, u, u']dx=0 \end{displaymath}$

(574)

のもとでの汎関数 $I[u(x)]$ の停留化を考える． Lagrangeの未定乗数 $\lambda$ を導入して，

$\begin{displaymath} H(u)=\int_a^b F[x, u, u'] dx + \lambda \int_a^b G[x, u, u']dx \end{displaymath}$

(575)

を定義すると，

$\displaystyle \delta H$	$\textstyle =$	$\displaystyle \int_a^b \delta F[x, u, u'] dx + \lambda \int_a^b \delta G[x, u, u'] dx + \delta\lambda \int_a^b G[x, u, u'] dx$
	$\textstyle =$	$\displaystyle \left[\frac{\partial F^*}{\partial u'}\delta u\right]_a^b +\int_a... ...{\partial u'}\right)\right]\delta u dx + \delta \lambda \int_a^b G[x, u, u'] dx$	(576)

となる．ここで， $F^*=F+\lambda G$ とおいている． $\delta H = 0$ の条件から，

$\begin{displaymath} \frac{\partial F^*}{\partial u} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F^*}{\partial u'}\right) = 0 \end{displaymath}$

(577)

と

$\begin{displaymath} \int_a^b G[x, u, u']dx=0 \end{displaymath}$

(578)

が得られる．

Akihiro Nakatani 2001-06-25