関数の極大・極小

(1) 1変数の微分可能な関数 $y = f(x)$ が，極値(極大値または極小値) をとるための条件は，

$\begin{displaymath} \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=0. \end{displaymath}$

(555)

この式を満たす $x$ から決まる $f(x)$ の値(停留値)は， $d^2y/dx^2 > 0$ の時，極小， $d^2y/dx^2 < 0$ の時，極大である．

(2) 2変数の関数 $z = f(x, y)$ のとき，

$\begin{displaymath} dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy=0 \end{displaymath}$

(556)

なので，

$\begin{displaymath} \frac{\partial f}{\partial x} = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 0. \end{displaymath}$

(557)

これらの式を停留条件 (stationary condition)という．式を解いて得られる $(x,y)$ を停留点(stationary point) といい．停留点における $f(x, y)$ の値を停留値 (stationary value)という．このようにして得られた停留値が極大 (maximum)か極小(minimum)かを判定するには停留点における $d^2f$ の符号を吟味する．

(3) 2変数の関数で，付帯条件，

$\begin{displaymath} g(x, y)=0 \end{displaymath}$

(558)

のもとで極値をとるための条件は， Lagrangeの未定乗数 (Lagrange multiplier) $\lambda$ を導入した新しい関数

$\begin{displaymath} h(x, y, \lambda)=f(x, y) + \lambda g(x, y) \end{displaymath}$

(559)

で， $x, y, \lambda$ を独立変数と考えて，

$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} + \lambda \frac{\partial g}{\partial x} = 0$	(560)
$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}$	$\textstyle =$	$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} + \lambda \frac{\partial g}{\partial y} = 0$	(561)
$\displaystyle \frac{\partial h}{\partial \lambda}$	$\textstyle =$	$\displaystyle g = 0$	(562)

となる．ここで，もはや， $h(x, y, \lambda)$ の極大(極小)は $f(x, y)$ の極大(極小)に対応しない．

Akihiro Nakatani 2001-06-25