重ね合わせの原理

表面力 と物体力が作用するもと で生じる応力と変位をそれぞれ， ，とす ると，

$$\sigma^{(1)}_{ij,j}+F^{(1)}_i = 0$$

$$\epsilon^{(1)}_{ij} = \frac{1}{2}\left(u^{(1)}_{i,j}+u^{(1)}_{j,i}\right)$$

$$\sigma^{(1)}_{ij} = E_{ijkl}\epsilon^{(1)}_{kl}$$

$${\stackrel{n}{T}}^{(1)}_i = \sigma^{(1)}_{ij}n_j \qquad {\rm on} \qquad S_\sigma$$

$$u^{(1)}_i = u^{(1)}_{i0} \qquad {\rm on} \qquad S_u$$ (493)

が成り立つ．

これとは別に，表面力 と物体力 が作用するもとで生じる応力と変位をそれぞれ， ， とすと，

$$\sigma^{(2)}_{ij,j}+F^{(2)}_i = 0$$

$$\epsilon^{(2)}_{ij} = \frac{1}{2}\left(u^{(2)}_{i,j}+u^{(2)}_{j,i}\right)$$

$$\sigma^{(2)}_{ij} = E_{ijkl}\epsilon^{(2)}_{kl}$$

$${\stackrel{n}{T}}^{(2)}_i = \sigma^{(2)}_{ij}n_j \qquad {\rm on} \qquad S_\sigma$$

$$u^{(2)}_i = u^{(2)}_{i0} \qquad {\rm on} \qquad S_u$$ (494)

が成り立つ．

これらの関係式はすべて線形の式であるから．それぞれの両辺を足しあわせた式，

$$[\sigma^{(1)}_{ij,j}+\sigma^{(2)}_{ij,j}]+ [F^{(1)}_i+F^{(2)}_i] = 0$$

$$[\epsilon^{(1)}_{ij}+\epsilon^{(2)}_{ij}] =\frac{1}{2}\left[ \lef... ...}_{i}+u^{(2)}_{i}\right)_{,j} +\left(u^{(1)}_{j}+u^{(2)}_{j}\right)_{,i}\right]$$

$$[\sigma^{(1)}_{ij}+\sigma^{(2)}_{ij}] = E_{ijkl}[\epsilon^{(1)}_{kl}+\epsilon^{(2)}_{kl}]$$

$$[{\stackrel{n}{T}}^{(1)}_i+{\stackrel{n}{T}}^{(2)}_i] =[\sigma^{(1)}_{ij}+\sigma^{(2)}_{ij}]n_j \qquad {\rm on} \qquad S_\sigma$$

$$[u^{(1)}_i + u^{(2)}_i] = [u^{(2)}_{i0} + u^{(2)}_{i0}] \qquad {\rm on} \qquad S_u$$ (495)

もまた成り立つ．つまり，線形弾性理論においては，問題の支配微分方程式 (つりあい方程式，ひずみ変位関係式，応力ひずみ関係式)と，境界条件式 (上，上の境界条件)はすべて線形方程式であるため 重ね合わせの原理 (principle of superposition)が成り立つ．

重ね合わせの原理を用いると複雑な境界条件の問題を簡単な境界条件の和で表 すことができる．