応力とは

変形を受けていない時，物体内の分子(原子)配列は熱平衡状態にあ る．このとき，力学的につりあい状態 にある．つまり，物体内部から，どんな体積要素 (volume element)を取り出しても，他の いかなる部分からもこの体積要素にはたらく全ての力の合力は0に 等しい．変形を受ける時，この分子配列は変わり，つりあい状態の 枠から出ようとする．そのために，物体内部には，物体を再びつり あい状態に戻そうとする力が発生する．このような内力 (internal force)を内部応力 (internal stress)と呼ぶ．

内部応力は，物体内の分子間原子間相互作用力によって決まる．弾 性論にとって最も重要な事項は，これらの相互作用力が極めて小さ い作用半径を持っているということであり，実際，無限小の作用半 径を持っていると仮定している．すなわち，近接相互作用のみを考 えている．

Figure 3.1: 物体内部の面積要素にはたらく内力

さて，今，図の様に，物体内部に微小な面積要素 (surface element)を考え， この面の単位法線ベクトルを とする．

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\li... ...ox{\boldmath$F$}}{\Delta S} =\frac{d \mbox{\boldmath$F$}}{d S}$$ (115)

が，ある有限な値を持つ時 のことを応力ベクトル (stress vector)という．応力ベクトル は，面積要素のとり方，すなわち，法線ベクトル のとり方に依存するから，をつけて表している．

次に，物体に対して直角座標系 をとる時，応力ベクトル は，

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}{T}_j\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (116)

と表される．特別なのとり方として，軸に垂直な面を 考え，この面にはたらく応力ベクトルを と書くと，

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(1\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(1\)}}{T}_j\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (117)

同様に 軸，軸に垂直な面にはたらく応力ベクトルを ， とすると，

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(2\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(2\)}}{T}_j\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (118)

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(3\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(3\)}}{T}_j\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (119)

と書ける．これらをまとめて書くと，

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(i\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(i\)}}{T}_j\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (120)

のことを 応力(stress)という． は 後で述べるようにこの量はテンソルであるので応力テンソルと呼ぶ． ， ， ， ， ， は それぞれの座標軸に垂直にはたらくので， 垂直応力 (normal stress) といい， ，，， ，，などとも書かれる．

一方， ， ， ， ， ， などは それぞれの面内に働き，その面をせん断する作用をするので， せん断応力(shear stress)といい， ，， ， ，， などと書かれる． つまり，

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(i\)}}{\mbox{\boldmath$T$}}=\sigma_{ij}\mbox{\boldmath$e$}_j$$ (121)

[例 3.1] 単軸引張荷重 を受ける 円形丸棒(断面積)について， 引張軸を含む面から角度だけ傾いた面の応力を論じる．

面の法線方向を軸に，断面の楕円の長軸の方向を軸にとる

Figure 3.2: 単軸引張荷重を受ける丸棒の応力

$$\stackrel{\mbox{\scriptsize\(x\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} =\fr... ...dmath$P$}}{(S/\sin \theta)} =\mbox{\boldmath$P$}\sin \theta /S$$ (122)

$$\sigma_x =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(x\)}}{\mbox{\boldmath$T$}}_x =\mbox{\boldmath$P$}/S\cdot \sin^2 \theta$$ (123)

$$\tau_{xy} =\stackrel{\mbox{\scriptsize\(x\)}}{\mbox{\boldmath$T$}}_y =\mbox{\boldmath$P$}/S\cdot \sin\theta\cos\theta$$ (124)

ここで， を，分解せん断応力 (resolved shear stress)は， はシュミット因子 (Schmit factor)と呼ばれ， 結晶のすべりを論じる時に重要な量である．