演習2(5/18/2001)

1. $J$の第一変分 $\delta J$を定義に基づき計算しなさい．
   1. 
      

      $$J = \int_0^1 \{u(x)\}^3 dx$$ (6)

      
      

   2. 
      

      $$J = \int_0^1 \sin u(x) dx$$ (7)

      
      

   3. 
      

      $$J = \int_0^1 \sin u(x) dx$$ (8)

      
      

   4. 
      

      $$J = \int_0^1 \{u^\prime(x)\}^3 dx$$ (9)

      
      

   5. 
      

      $$J = \int_0^1 \sin u^\prime(x) dx$$ (10)

      
      

2. 
   

   $$J[u] = \int_0^\pi\{\frac{1}{2}(u^\prime)^2-u\sin x\} dx \rightarrow min$$ (11)

   
   
   すなわち，$\delta J=0$は，
   

   $$u\prime\prime=\sin x,\quad u(0) = 0,\quad u(\pi) = 0$$ (12)

   
   
   を解く問題と等価であることを示しなさい．