演習1(4/20/2001)

1. 次の2変数関数$f(x,y)$について以下の問いに答えなさい．
   

   $$f(x, y) = \left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{x^... ...ne (0,0) \\ 0, & {\rm if~}(x,y) = (0,0) \end{array}\right.$$ (1)

   
   
   1. 以下の式が成立することを示しなさい．
      

      $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\displaystyle\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}=0$$ (2)

      
      

   2. 次の2階偏微分を評価しなさい．
      

      $$\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$ (3)

      
      

2. 次の極限を計算しなさい．
   1. 
      

      $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\displaystyle\frac{x^4 + y^4}{x^2+y^2}$$ (4)

      
      

   2. 
      

      $$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\left[xy\log(x^2+y^2)\right]$$ (5)

      
      

3. コンピューターを使って，1.の $f$, $f_x$, $f_y$, $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{yx}$, $f_{xy}$の3Dグラフを描いてみよう．