サンブナンの問題

一様断面を有する長さ $l$ の棒を考える．棒の断面の寸法は，棒の長さに対して十分に小さいとし，物体力は働かないとする． $z$ 軸を軸方向にとる．棒の側面では，表面力が働かないとすると，Cauchy の関係式において， $n_z$ は，0であるから，

		$\displaystyle \sigma_x n_x + \tau_{xy} n_y = 0$
		$\displaystyle \tau_{xy} n_x + \sigma_{y} n_y = 0$
		$\displaystyle \tau_{zx} n_x + \tau_{yz} n_y = 0$	(496)

が成り立つ．一方，棒の端面では， $n_x=n_y=0$ であり， $n_z = \pm 1$ なので，境界条件は，

$\begin{displaymath} \left.\begin{array}{l} \tau_{zx}={\stackrel{n}{T}}_x(x, y, l... ...T}}_z(x, y, l) \end{array}\right\} \qquad {\rm on} \quad z = l \end{displaymath}$

(497)

$\begin{displaymath} \left.\begin{array}{l} \tau_{zx}=-{\stackrel{n}{T}}_x(x, y, ... ...T}}_z(x, y, 0) \end{array}\right\} \qquad {\rm on} \quad z = 0 \end{displaymath}$

(498)

となる．一般には，このような端面の表面力は複雑な分布となるが，合力 $N$ と図心まわりの合モーメント $M$ に置き換えても，St. Venant の原理によって，端面から十分離れたところでは，同じ応力，ひずみ，変位が生じると考えられる．

		$\displaystyle \int_{S}\tau_{zx}(x, y, l) dS = N_x, \int_{S}\tau_{zy}(x, y, l) dS = N_y$
		$\displaystyle \int_{S}\sigma_{z}(x, y, l) dS = N_z$
		$\displaystyle \int_{S}y\sigma_{z}(x, y, l) dS = M_x, \int_{S}x\sigma_{z}(x, y, l) dS = -M_y$
		$\displaystyle \int_{S}[x\tau_{zy}(x, y, l)-y\tau_{zx}(x, y, l)] dS = M_z$	(499)