コンプリメンタリ仮想仕事の原理

物体力と表面力を受けてつりあい状態にある物体の内部では， 応力はつりあい方程式と境界条件式を満足する．

このような実際に生じている応力を実応力といい，とする． これに対して，上の応力に関する境界条件，すなわち力学的境界条件は 満足するが，上の変位に関する境界条件，すなわち，幾何学的 境界条件は必ずしも満足しないような仮想応力 (virtual stress)を とあらわすことにする． このような応力のことを静力学的に許容な応力 (statically admissible displacement)という．

このような仮想応力が生じるためには，物体内部で，物体力が から， に， 上の表面力が から， になることが考えられる．このとき，

外部仮想仕事 に対応して，

$$\delta W^c_e = \int_V u_i \delta F_i dV + \int_{S_u} u_i \delta \stackrel{n}{T}_i dS$$ (344)

なる 外部コンプリメンタリ仮想仕事 (external complementary virtual work)を考えよう． 表面 上では， であることを考慮すると右辺第2項の面積積分の領域は，から，に 変えても差し支えない．コーシーの関係式

$$\delta \stackrel{n}{T}_i = \delta \sigma_{ij}n_j$$ (345)

および，つりあい方程式，

$$\delta \sigma_{ij,j} + \delta F_i = 0$$ (346)

を用いて，ガウス(Gauss)の発散定理を適用するし， さらに，応力の対称性とひずみ変位関係を用いて，

$$\delta W^c_e = \int_V u_i \delta F_i dV + \int_{S} u_i \delta \stackrel{n}{T}_i dS$$

$$= -\int_V u_i \delta \sigma_{ij,j} dV + \int_{S} u_i \delta \sigma_{ij}n_j dS$$

$$= -\int_V u_i \delta \sigma_{ij,j} dV + \int_{V} (u_i \delta \sigma_{ij})_{,j} dV$$

$$= \int_V u_{i,j} \delta \sigma_{ij} dV$$

$$= \int_V \epsilon_{ij} \delta \sigma_{ij} dV$$ (347)

となる．

これは，物体内部の力学的に許容な仮想応力 が，幾何学的に許容なひずみに対してなす 内部コンプリメンタリ仮想仕事 (internal complementary virtual work) に対応することを意味している． すなわち，

$$\delta W^c_e=\delta W^c_i$$ (348)

結局，

$$\int_V u_i \delta F_i dV + \int_{S_u} u_i \delta \stackrel{n}{T}_i dS =\int_V \epsilon_{ij} \delta \sigma_{ij} dV;$$ (349)

$${ \int_V (u_x \delta F_x + u_y \delta F_y + u_z\delta F_z) dV +\i... ...krel{n}{T}_x + u_y \delta \stackrel{n}{T}_y + u_z \delta \stackrel{n}{T}_z) dS}$$

$$= \int_V (\epsilon_x \delta \sigma_x + \epsilon_{y} \delta \sigma_y... ...elta \tau_{zx} + \gamma_{xy} \delta \tau_{xy} + \gamma_{yz} \delta \tau_{yz})dV$$ (350)

これをコンプリメンタリ仮想仕事の原理 (principle of complementary virtual work)といい， 仮想仕事の原理と相補的な構造をもっていることがわかる．

この導出過程を逆にたどれば コンプリメンタリ仮想仕事の原理は，ひずみ変位関係と 上の幾何学的境界条件と等価である． ここで，導出の過程で 応力ひずみ関係などの構成式を導入していないので すなわち，コンプリメンタリ仮想仕事の原理は， 応力ひずみ関係に無関係に成立しする．