応力の微小要素のつり合いの考え方

物体中にとった稜の長さが，，なる微小直六面体を 考えよう．面 ABCD にはたらく応力を とすると， 面 EFGH の応力は， となる．他の方向についても同様な応力が考えられる． いま，この直六面体の重心を通る 軸まわりのモーメントの つりあいを考えると，

$${ \left(\sigma_{12} + \frac{\partial \sigma_{12}}{\partial x_1}dx_1\right) dx_2 dx_3\frac{dx_1}{2} +\sigma_{12}dx_2dx_3\frac{dx_1}{2}}$$

$$= \left(\sigma_{21}+\frac{\partial\sigma_{21}}{\partial x_2}dx_2\right) dx_3 dx_1\frac{dx_2}{2} +\sigma_{21}dx_3dx_1\frac{dx_2}{2}$$ (136)

を得るが，高次項を省略すると，

$$\sigma_{12} = \sigma_{21}$$ (137)

となる．同様のことは，他のせん断応力についてもいうことができ， 一般に次の関係が成り立つ．

$$\sigma_{ij}=\sigma_{ji};$$ (138)

$$\left. \begin{array}{l} \tau_{xy} = \tau_{yx} \\ \tau_{yz} = \tau_{zy} \\ \tau_{zx} = \tau_{xz} \end{array}\right\}$$ (139)

これは，直交する2つの面にはたらくせん断応力についての 重要な関係であり，せん断応力の対称性 (symmetry)あるいは，共役性という．

次に，微小直六面体における力のつり合いを考えてみよう． 物体が均質であるとして， 単位体積当たりの物体力を

$$\mbox{\boldmath$F$} = F_i\mbox{\boldmath$e$}_i$$ (140)

とする． このとき，方向の力のつりあいは，

$${\sigma_{11}dx_2dx_3 +\sigma_{21}dx_3dx_1 +\sigma_{31}dx_1dx_2 - F_1dx_1dx_2fx_3}$$

$$= \left(\sigma_{11} + \frac{\partial \sigma_{11}}{\partial x_1}dx_1... ...\left(\sigma_{31}+\frac{\partial\sigma_{31}}{\partial x_3}dx_3\right) dx_1 dx_2$$ (141)

となるので，つぎの関係が得られる．

$$\frac{\partial\sigma_{j1}}{\partial x_j} + F_1 = 0; \qquad \... ...}}{\partial y} +\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial z} + F_x = 0$$ (142)

同様な関係は，方向，および，方向の力のつりあいを 考えることによって得られるが，応力の対称性を考慮して これらをまとめると，次のように表される．

$$\frac{\partial\sigma_{ij}}{\partial x_j} + F_i = 0 \qquad {\rm or}\qquad \sigma_{ij,j} + F_i= 0$$ (143)

$$\left. \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\partial\sigma_x}... ...{\partial\sigma_{z}}{\partial z} + F_z = 0 \end{array}\right\}$$ (144)

これは，応力の平衡方程式 (equilibrium equation) あるいは， つりあい方程式 と呼ばれ，弾性力学において最も重要な関係のひとつである．

[例題3.2]

運動保存則 (conservation law of momentum=Eulelr の第1法則) および角運動量保存則 (conservation moment of momentum=Eulelr の第2法則) を用いて，応力の平衡方程式およ応力の対称性を導く．

物体が静的つりあい状態にあるとき，これはすなわち，

$$\mbox{\boldmath$O$} = \int_{S} \stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}{\mbox{\boldmath$T$}} dS + \int_{V} \mbox{\boldmath$F$} dv$$ (145)

$$0 = \int_{S} \stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}{T_i} dS + \int_{V} F_i dv$$ (146)

であるが，コーシーの関係を用いて，第1項の表面力を応力で表し， Gaussの発散定理を用いると．

$$\left. \begin{array}{rcl} \mbox{\boldmath$O$} & = & \displ... ...style\int_{v}[(\sigma_{ij})_{,j} + F_i] dv \end{array}\right\}$$ (147)

となる．上式が常に成り立つためには，

$$\sigma_{ji,j} + F_i = 0$$ (148)

を得る．

角運動量保存則は，角運動量の変化率は合モーメントに等しいことを意味するから，

$$\mbox{\boldmath$O$} = \int_{S} (\stackrel{\mbox{\scriptsize\... ...dS + \int_{V} (\mbox{\boldmath$F$}\times\mbox{\boldmath$x$})dv$$ (149)

すなわち，

$$0 = \int_{S} e_{kij}\stackrel{\mbox{\scriptsize\(n\)}}T_ix_j dS + \int_{V} e_{kij}F_ix_j dv$$

$$= \int_{S} e_{kij}\sigma_{mi}n_mx_j dS + \int_{V} e_{kij}F_ix_j dv$$

$$= \int_{V} e_{kij}\{(\sigma_{mi}x_j)_{,m} + F_ix_j\} dv$$

$$= \int_{V} e_{kij}[(\sigma_{mi,m}+F_i) x_j + \sigma_{mi}x_{j,m}] dv$$ (150)

ところで，第1項は 0 であり， であるから， 結局，

$$e_{kij}\sigma_{mi}\delta _{jm} = e_{kij}\sigma_{ji} = 0$$ (151)

となり，これから，

$$\sigma_{ij} = \sigma_{ji}$$ (152)

を得る．