演習3(6/1/2001)について

1. 一般解を求めなさい．
   1. 
      

      $$yuu_x + xuu_y = xy$$ (1)

      
      
      略
   2. 
      

      $$u_x + 3 u_y = 5 e^{2x+y}$$ (2)

      
      
      (略解例) 特性曲線の方程式は，
      

      $$\frac{dx}{1}=\frac{dy}{3}=\frac{du}{5e^{2x+y}}=d\xi$$ (3)

      
      
      
      

      $$3x - y = \alpha$$ (4)

      
      
      すなわち，
      

      $$y = 3x - \alpha$$ (5)

      
      
      一方，この関係を使うと，
      

      $$\frac{du}{dx} = 5e^{5x - \alpha}$$ (6)

      
      
      積分すると，
      

      $$u-e^{5x-\alpha}=\beta$$ (7)

      
      
      
      

      $$u-e^{2x+y}=\beta$$ (8)

      
      
      よって，任意関数 $F$を用いて，陰関数として，
      

      $$F(3x-y,u-e^{2x+y})=0$$ (9)

      
      
      あるいは，任意関数 $G$を用いて，陽関数として，
      

      $$u=G(3x-y)+e^{2x+y}$$ (10)

      
      

   3. 
      

      $$u_x + 2 u_y + u = xy$$ (11)

      
      
      (略解例) 特性曲線の方程式は，
      

      $$\frac{dx}{1}=\frac{dy}{2}=-\frac{du}{u-xy}$$ (12)

      
      
      
      

      $$2x - y = \alpha$$ (13)

      
      
      一方，
      

      $$\frac{du}{dx}=x(2x-\alpha)-u$$ (14)

      
      
      両辺に，$e^x$を掛けて，
      

      $$\frac{d}{dx}(e^xu)=e^xx(2x-\alpha)$$ (15)

      
      
      積分すると(中略)，
      

      $$e^x(u - xy + 2x + y - 4)=\beta$$ (16)

      
      
      よって，任意関数 $F$を用いて，陰関数として，
      

      $$F\left(2x-y,e^x(u-xy+2x+y-4)\right)=0$$ (17)

      
      
      あるいは，任意関数 $G$を用いて，陽関数として，
      

      $$u=e^{-x}G(2x-y)+xy-2x-y+4$$ (18)